Question

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なぜ有理化しているんですか

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重要 例題2
漸化式と極限 (はさみうち)
00000
{an} について,次の(1),(2),(3) を示せ。
0<a<3,+1=1+√1+an (n=1,2,3, …………) によって定められる数列
[類 神戸大]
(1) 0<an 3
(2) 3-an+1 < (3-an)
1
3
(3) liman=3
n→∞
% p.33 基本事項 3.基本15
CHART & THINKING
求めにくい極限 はさみうちの原理を利用
漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小間ごとに,どのような方針を
とればよいのか考えてみよう。
(1) すべての自然数nについての成立を示すから,数学的帰納法を利用。 そのために, 何
を仮定すればよいだろうか?
(2)(1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。
(3)(1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列 {3-αn} の極限を
求めればよい。
はさみうちの原理 すべての自然数nについて an ≦ のとき
liman=limbn=α ならば limcn=α
818
n18
→∞
(2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。

(2) 3-an+1-3-(1+√1+an)=2-√1+an
(2-√1+an)(2+1+an) _ 4−(1+an)
2+√1+an
1
=
-(3-an)
②
2+√1+an
←漸化式から。
2+ √1+an> d
DS
分子を有理化。
E-
←3-αn+1 と同形の3-
a mil
が現れる。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

慣れというと身も蓋もないですが……

√があれば有理化は可能性として常にアリです
また、その結果3-aₙという
目当てのものも出てくるので、
目的にも合致します

素直に一つの武器として
収めておくのが吉かと思います