Question

さま

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*171 αを実数とする。連続型確率変数Xのとりうる範囲が 0≦x≦1 であ
り、その確率密度関数が f(x) =ax (1-x) と表されている。
(1) α の値を求めよ。
(2)確率変数 Y=10X-25 を考える。 Y の期待値E(Y) の値と,分散
V (Y) の値を求めよ。
(3)Yと同じ期待値と分散をもつ母集団から大きさ25 の標本を無作為に抽
出し,その標本平均をVとする。 Vの平均に対する信頼度 95%の信頼区
間を求めよ。 ただし, Yは正規分布に従うとみなし, 巻末の正規分布表を
用いよ。
[21 横浜市大]

Answer 1

GDO

求め方を示します。
（１）全確率＝１であることから、f(x)=ax(1-x)を0～1まで積分して、F(1)-F(0)=1となるaが答えです。
（２）（１）のa入れ、Xの期待値・分散を求めます。
　　　∫x・f(x)dx（0～1まで積分）＝m　←　Xの期待値E(X)
　　　∫x^2・f(x)dx（0～1まで積分）＝n　← これはE(X^2)
　　　　　Xの分散V(X)=[E(X^2)-{E(X)}^2]=n-m^2
　Y=10X-25、E(aX+b)=a・E(X)+b、V(aX+b)=a^2・V(X)　なので、
　E(Y)=10・E(X) - 25=10m-25、V(Y)=10^2・V(X)=100(n-m^2)です。
（３）Y_を標本平均の記号にします。（２）の結果のE(Y)=c、V(Y)=dとおきます（見やすいように）。
　　c+u(2.5%点の値)・√(d/25)≦(Y1+Y2+…＋Y25)/25 ≦ c＋u(97.5%点の値)・√(d/25)
　　c－1.96・√(d/25)≦(Y1+Y2+…＋Y25)/25 ≦ c＋1.96・√(d/25)
　　・・・正規分布表は本によって定義（範囲の取り方）が違うので注意：あたりまえですが、結果は同じ

（その他）問題文の「Y_の平均」って、表現が変ですね（Y_は平均なのに、、、「標本平均の平均」になっている）。
　　　「Y_の平均に対する信頼区間」とは、平均を控除しなさいという意味でしたら、以下の通りです。
　　　u(2.5%点の値)・√(b/25)≦(Y1+Y2+…＋Y25)/25-a ≦ u(97.5%点の値)・√(b/25)
　　となります。

GDO

最後の式の文字訂正（編集誤り）
u(2.5%点の値)・√(d/25)≦(Y1+Y2+…＋Y25)/25-c ≦ u(97.5%点の値)・√(d/25)