Question

し　【難関大学志望】

方針を見ても解説がよく分かりません。
まず、なぜ正の数は18でm＝p17乗だと表していますがどういう事でしょうか？
赤で丸で囲った所もなぜこの2つで場合分けできるのでしょうか？

問題4-7
なぜこうなる?
自然数nの正の約数は6個あり,それらの総和 (2) が124であるとき
難
nの値を求めよ。
(昭和薬大改)
方針
正の約数の個数から素因数分解の形がわかります。
例えば、自然数の正の約数の個数が18個の場合,の素因数分解
は次の4つの場合しかありません。
⑦m = p17 ←正の約数の個数はい
18を2以上の自然数の積に分解
すると・・・
1つの自然数の積 18
①m=pq
←正の約数の個数は2×9
2つの自然数の積
29,3×6
⑦m=pg ←正の約数の個数は3×6
3つの自然数の積 2×3×3
エ m = par←正の約数の個数は2×3×3 よって,mの素因数分解は4つ
しかない
(p,g,rは異なる素数)

問題4-7ではの正の約数が6個なので,nの素因数分解は
なぜこのようにささん
fi
n=が←正の約数の個数は6
(i) = pg 左の約数の個数は2×3
のか
(p, gは異なる素数)
のどちらかです。(i)の場合の正の約数の総和 (n) は
o(n) = 1 + p + p² + p³ + p*+p5
(ii)の場合は
a(n) = (1 + p)(1 + g+α)
あとは、それぞれの場合で, o(n)=124となる条件を調べます。
問題 4-7 の解答
自然数nの正の約数が6個であるから,nの素因数分解は
f(i) n = p³
(ii) n = pq²
← 方針参照
のどちらかしかない (p, q は異なる素数)。
(i)n=pのとき
この場合,nの正の約数の総和 (n) は
σ(n) = 1 + p + p² + p³ + p¹ + p³
ここで,p=2のときは
o(n) = 1 + 2 +22 + 23 + 2' + 2 = 63
であり,(n) ≠ 124

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

てと

例えばですが
108の正の約数の個数を答えなさいと言われた時、
全部数えてもいいのですが、素因数分解をして計算で求めましたね。
108=2²×3³ですから
約数の個数は？というと「指数部分を見て」
(2+1)(3+1)=3×4=12 つまり12個というふうに求めました！

ではより抽象的に
自然数nの正の約数が12個あります。この自然数nについてどんな可能性があるかというと、
正の約数の個数は指数部分を見て考えたんですよね。
だから指数を見たとき
12=3×4=(2+1)(3+1)のように指数がそれぞれ2,3
12=2×6=(1+1)(5+1)のように指数がそれぞれ1,5
12=(11+1)のように指数が11
といったふうに先ほどの具体的なものとは逆に考えるんです。

ということで、正の約数の個数が18個の場合、なぜ
pの17乗の形になるかというと、それは
指数部分を見て、(17+1)=18となるようにしたからです。

し　【難関大学志望】

2前目の写真で正の約数の個数は2×3とありますがこれは3×2としなくてもいいのですか？

てと

しなくてもいいですし、してもいいです！
例えば18の正の約数の個数を考えてみましょうか。
18=2×3²なので
正の約数の個数は2×3=6 つまり6個としますね。
そこを
18=3²×2って思って
正の約数の個数は3×2=6 だから6個だ！って言うのと同じです！
素因数分解をするときにどちらを先に書くかの違いですね、どっちを先に書こうが積は順序を変えても成立するので、それなら小さい順に書くのがいいだろうということです！

し　【難関大学志望】

教えてくれてありがとうございます！

Answer 2

Mike_teacher

これでわかりますか？

し　【難関大学志望】

2枚目の写真で正の約数の個数は2×3とありますが3×2としなくてもいいのですか？

Mike_teacher

する必要はありません。

気になるのであれば、3×2でやってみればいいと思います。

し　【難関大学志望】

教えてくれてありがとうございます！