Question

be

(3)の問題です。なぜa=25/4を境に場合分けをするのかが解説を読んでもわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

完答への
道のり
AB 正三角形AQR ができる条件を場合に分けて
© E が点 Q, C が点Rとなる確率を求めることができた。
正三角形AQR ができる確率を求めることができた。
白玉だけを取り出して正三角形AQR ができる条件をもれなく考えることができた。
F 白玉だけを取り出して正三角形AQRができる確率を求めることができた。
条件付き確率を求めることができた。
B4
図形と方程式 (40点)
座標平面上に円 C:x2+y2 = 25 と直線l: x+2y=10 があり、連立不等式x+2y10
fx2+y2 S25
A
の表す領域をDとする。
(y≥0
(1)円Cと直線lの共有点の座標を求めよ。 また, 領域Dを図示せよ。
(2) (6,0)を通る直線の中で,円Cと y>0の範囲で接するような直線の方程式を求めよ。
(3)aは 6≦a≦10 を満たす実数とする。 点(x, y)が領域D内を動くときの最小
値を とする。 αの値で場合分けをして, mをαを用いて表せ。
x-a
配点 (1) 10点 (2) 12点 (3) 18点
解答
(1)
C:x+y2 = 25
①
l
VA
l: x+2y=10
C
②より x=-2y+10
②'
②'を①に代入して
(10-2y) +y2=25
2-8y+15=0
(y-3)(y-5)=0
y=3,5
44
-
15
(4, 3)
0
5 x
-5
円Cと直線lの共有点の座標は、
連立方程式①、②の実数解である。
解答ではxを消去して yの2次
方程式を導き、それを解いて共有点
のy座標から求めたが,yを消去し
てx座標から求めてもよい。

25
A ☐
(3)
y=k とおくと
y=k(x-a)
直線⑧は点 (α, 0) を通る傾きkの直線を表す。 この直線⑧が領域Dと共
有点をもつときの傾きkの最小値を考える。
ここで,領域Dの境界線上の2点(5,0), (4,3) をそれぞれA,Bとす
ると,点B(4,3) における円 Cの接線の方程式は
を含む式の最大・最小を考えると
その式をとおいて,y=f(x)
の形に変形する。これが表す図形と
Dが共有点をもちながら,kが変化
するときの最大・最小を考える。
( 2 as 10 のとき
4
領域における最大・最小の問題
領域D内の点(x, y) に対して,よ
G ■
直線 ⑧がDの境界線上の点B
(4.3) を通るときは最小と
なる。
3
このときk=
4-a
よってm=
3
4-a
4x+3y=25
これがx軸と交わる点のx座標
(i), (i)より
は,y=0 より
4x=25
x=
25
kは領域D内の点(x, y) と点
(α, 0) を通る直線の傾きより, k
よく
B (4, 3)
al
25
mas 2 のときm=--
NO
25
・<a ≦10 のときm=
4
4-
5 25
10
x
N
が最小となる場合を次の2つの場
合に分けて考える。
CO
(i) has 2 のとき
5 C
直線⑧がDの境界線の弧 ABに接
B (4, 3)
するときは最小となる。
D
⑧を①に代入して
aの値が 6≦a≦10 の範囲で変
化するとき =2を境に、が
最小となるような直線と領域D
の共有点の取り方が異なる。
6a
のとき
V
完答への
道のり
最小値を考える式
B場合分けの境目と
25
αのときについては, (i), (6)
のどちらに含めてもよい。
25のときが最小となる直
CF αの値によって、
DG それぞれの場合
EH それぞれの場合
a=
25
線 ⑧の方程式は4x+3y=25 である。
4
56
x
a ⑧
円と直線の方程式からyを消去し
て得られるxの2次方程式を
x+k (x-a)=25
(k^2+1)x2-2kax+ka"-25=0
このxの2次方程式の判別式をD
とすると
D₁ -=(-k²a)-(k²+1) (k² a²-25)
-ka-(ka-25k²+k² a²-25)
= (25-a²) k²+25
直線 ⑧がCに接する条件は, D10 であるから
(25-a)k+25=0
(a²-25) k² = 25
=2のとき-250 であり、 直線⑧が弧ABで接するとき
6≤a≤
k < 0 であるから
25
k² =
より
a²-25
5
k=.
€
よって
√a-25
m = -
5
√√a-25
-46-
ax+bx+c=0
とし、その判別式をDとすると
D=64ac であり
円と直線が接するD=0
また、26' のときは = =b^2-ac
を用いてもよい。
[6≦a≦ 2 のときの最小値を求める
⑧ より kx-y-ka=0
直線⑧が円Cと接するとき、円
Cの半径5に等しいから
|k.0+(-1)0-kal=5
√√k+(-1)
kal=5√√k+1
両辺とも0以上であるから2乗!
ka² = 25 (k+1)
(a2-25) k=25 (F. *
B5
数列 (40点)
等差数列{a.
あり、61=2,bati
(1) 数列 (a.) の一般
(2) 数列 (b.)の一般
(3) S.-(arb

図形と方程式 進研模試

Answer 1

わさび

a=25/4のとき、この(25/4, 0)を通りDと接して傾きkが最小になるように引いた直線は、点Bを通ります

それよりaが小さいと、直線が円の弧の部分に接する方が傾きkがよりマイナスになります
それよりaが大きい時は、点Bを通る直線になります
なので25/4が場合分けの境界になります

ちょっと拙い説明ですが、いかがでしょうか？