化式
日本 例題 35
図形と漸化式(1)
「平面上にn個の円があって, それらのどの2個の円も互いに交わり,3個以
00000
上の円は同一の点では交わらない。 これらの円は平面をいくつの部分に分け
るか。
CHART L
&
THINKING
漸化式を作成し、解く問題 (求める個数を αとする)
1a1, a2, a3,
an
とan+1
･･を調べる(具体例で考える)
の関係を考える (漸化式を作成)
1 まず, n=1, 2, 3 の場合について図をかくと、下のようになる。
この図を参考に、
平面の部分は何個増加するだろうか?
n=1
基本 29
との式で表した漸化式を作ろう。 円を1個追加すると
n=3
n=2
e
⑤
⑥
①
②
④
③
平面の部分は+2.
(交点も+2)
平面の部分は +4
(交点も+4)
一答
AGA
カ個の円によって平面が αn 個に分けられるとすると=2
分割された弧の数と同じだ
④
平面上に条件を満たすn個の円があるとき,更に、条件を満け平面の部分が増える。
たす円を1個追加すると, n個の円とおのおの2点で交わる
から交点が2n個できる。 この2n個の交点で, 追加した円
が 2n個の弧に分割される。 これらの弧によって, その弧が
含まれる平面の部分が2分割されるから,平面の部分は 2n
個だけ増加する。元や平面
①
3
②
0
●よって
+2n
ゆえに
an+1-an=2n
よって,n≧2 のとき
n-1
an=art
2k=2+2.12 (n-1)n=n-n+2
階差数列の一般項が2n
k=1
=2であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって, n個の円は平面を (n-n+2) 個の部分に分ける。 |
n=1 とすると
12-1+2=2
PRACTICE 35
2 とする。 平面上にn個の円があって, それらのどの2個の円も互いに交わり,
3個以上の円は同一の点では交わらない。これらの円によって, 交点はいくつできる
3
めっちゃわかりました！ありがとうございます！