Question

米米

I怎麼算

1520
2475
I. 1975年法國、美國數學家Benoit B. Mandelbrot提出了「碎形」,碎形是一個粗糙或零碎的幾何形狀,可分成數個部分,且每一部分
都(至少近似地)是整體縮小後的形狀。而碎形概念的發展,從17世紀有遞迴概念開始,就見到其發展的曙光。碎形的應用有許
多,不論是在數學、醫學、藝術等領域都能看到它的身影,例如數學中常見的「科赫雪花」就是一個例子,說明如下:
(圖一)
(圖二)
(圖三)
√3
圖一為邊長1的正三角形,其面積為
,
將圖一的三角形的每個邊切成三等分,並由等分點向外作出邊長一的正三角形,如圖
3
4
二所示,圖二的面積為2,接著依照相同方式,將每一個邊切成三等分,由每個等分點向外作出邊長一的正三角形形成圖三,圖三
94
9
1.53
的面積為43,依此操作下去所成的形狀為科赫雪花,試求 4 =
29 30√√3
①②③243

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ex1979

圖n加上的小三角形數量是原先圖n-1的邊數
Tn=3×4^(n-2)
例：在圖三，每個邊加上的三角形數T3=圖二邊數=3×4=12
而圖n每個加上的三角形面積是之前加上每個三角形面積的1/9（如圖）
⇒An=a1×(1/9)^(n-1)
所以圖n加上的小三角形總面積為
bn=Tn×An=a1×(1/3)×(4/9)^(n-2)
圖n總面積an=a1+b2+b3+…+bn
最後答案見第二張圖

ex1979

不容易想到的地方是把加上的三角形面積分成「三角形數量」和「單個三角形面積」兩個等比數列相乘