Question

みみ

複素数平面の問題です。(2)でα=2も独立して場合分けをするのではないかと思ったのですがどのような基準で3つの場合分けをしているのか教えて頂きたいです。

総合 (1) + (1-i+a)z+(1+i+α) z=aを満たす複素数が存在するような複素数αの範囲を,
20
複素数平面上に図示せよ。
(2)|a|≦2とする。 複素数zが2+(1-ita)+(1+ita)=αを満たすとき |z|の最大値
を求めよ。 また、そのときのα, z を求めよ。
(1) 1+i+α=β とおくと, B=1-i+αであるから
zz+(1-i+α)z+(1+i+α)z=zz+Bz+Bz
[類 新潟大]
本冊 数学C 例題 111,112
|←B=1+ita
&t=1+i+ād
|- =1-i+α
=1-i+aJ
よって
すなわち
=(z+B)(z+B)-BB
=|z+BP-1B122+0zz=z=
1z+BP-1B1=αson
1z+B2=a+1B12
①+

230
数字
←+BO
ゆえに α+1+ita≧0 ←+ hittillita-il
2B,Bはともに実数であるから, ①を満たす複素数ぇか
存在するための条件は
α が実数 かつ α+1B12 ≧0
α+1は実数であるから
+1
(人)+1
+(1+α)2+12≧0
y
整理して
α2+3a+2≧0
←実数αの2次不等式。
すなわち
(a+1)(a+2)≥0
よって
a≦-2,-1≦a
2-10
x
したがって、複素数αの範囲を複素数
平面上に図示すると, 右図の太線部分
のようになる。
Z+B
(2) (1)から
|2+1+α+il=a2+3a+2
(2)
←a+\B=a2+3+2
条件は
また,(1)の結果から, ②を満たす複素数 z が存在するための
a≤-2, -1≤a
ここで, |α|≦2 から
α=-2,-1≦a≦2
AND a≤2
[1] α=-2 のとき
②は
|z-1+i=0
よって z=l-i
⇔-2≦a≦2
←点1-i を表す。
このとき
|z|=√12+(-1)=√2
[2] α=-1のとき
②は
|z+i=0
よって z=-i
←点-iを表す。
このとき ||=1
[3] -1 <a≦2のとき
②は |z+a+1+i|²
=α2+3a+2
よって、点々は点-α-1-i
を中心とする半径√2+3+2
の円上を動く。
YA
-a-1
α=2
←α2+3a+2
=(a+1)(a+2)
-3
01
x
最大
a=-2
α=-1
αの値を-1<α≦2の範囲で1
つ固定すると,図から,zの
最大値は
-1<α≦2 のとき
α+1>0 α+2>0
←-3≦-α-1<0
|-a-1-i+√2+3+2
=√(a+1)²+1 + √(a+ 3³)² - 1
←(原点と点-α-1-i
の距離)+(円の半径)
3
2
2
ここで, (a+1)'+1,
4
はともに-1 <α≦2 に
おいて単調に増加する。
←この2つのαの関数
はどちらもα=2で最大
となる。
したがって, -1 <α≦2において, ③は
α=2で最大値√10 +2√3 をとる。
[1] ~ [3] の結果を合わせて考えると, 10 +2√3 > √2 >1
であるから,|z|はα=2で最大値√10+2√3 をとる。