Question

かん

数三積分です
(2)で丸で囲んだように分けるのは何故ですか？教えてください

(2)
dx
xx+2)
3x+2
(5)
dx
x(x+1)3

1
a
b
C
(2)
x2(x+2)
x+2
x
+ + とおく。
x2
両辺にx2(x+2) を掛けて
1=ax2+bx(x+2)+ c(x+2)
右辺をxについて整理すると
1=(a+b)x2+ (2b+c)x+2c
これが,xについての恒等式であるから, 両辺の同じ次数の項の係数を比較して
a+b=0,2b+c=0, 2c=1
これらを解くと a= b=- c=1
11, 4
1
2
1
1 2
よって
与式=-
+
dx
2
x+2
x x
=
-1(10glx+21-log|al - 2/2) +C
-
x
=1/10g
x+2
1
+C
x
2x

Answer 1

ブドウくん

通分して戻したときにx²(x+2)にしたいので、簡単に思いつくのはx²とx+2に分けることです。x²の部分は、分母2次なので分子はそれより1小さい1次で置かないといけないことに注意すると写真のようになります。今回はx²なので、これで積分しちゃえばいいと思いますが、例えば(x-3)²とかであればちょっと複雑な積分になります。-x+2/(x-3)²という形を見たら、
-x+2/(x-3)²
=-(x-3)-1/(x-3)²
=-(x-3)/(x-3)² + -1/(x-3)²
=-1/(x-3) -1/(x-3)²
という変形ができて、こっちの方が積分が楽ですよね。でもよく考えたら、後からこんな変形をするくらいなら、x+2と(x-3)²に分けてから(x-3)と(x-3)²に分けるくらいなら、最初からx+2と(x-3)と(x-3)²に分けてしまえばいいですよね。
それと同じ発想で、x²とx+2に分けるのではなく、x²とxとx+2に分けています。

ブドウくん

途中日本語おかしいですが、文脈で読み取ってください。何かあればコメントしてください