Question

一一ㄑ

求解～～

使用數學歸納法證明:對於所有的正整數n,3"+7-2恆為8的倍數
。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

當n=1時，3¹+7¹-2=8是8的倍數，原命題成立
設當n=k時原命題成立，即 3ᵏ+7ᵏ-2=8m，其中 m 是正整數
則當n=k+1時，3ᵏ⁺¹+7ᵏ⁺¹-2=3·3ᵏ+7·7ᵏ-2
=3·(3ᵏ+7ᵏ-2)+4·7ᵏ+4
=3·(8m)+4·(7ᵏ+1)
但 7ᵏ 是奇數，所以 7ᵏ+1 是偶數
設其為 2u，其中 u 是正整數
因此 3ᵏ⁺¹+7ᵏ⁺¹-2=8·3m+4·2u=8(3m+u)
是8的倍數，原命題成立
故由數學歸納法可知，對於所有正整數n，3ⁿ+7ⁿ-2恆為8的倍數