Question

Rose

画像の問題について、逆関数というのは、「ある関数y=f(x)にて、この関数は、xを入れるとyが求まるというものであり、yを入れるとxが求まるという関数にしたもののこと。」という認識をしています。
①の元、逆関数を、xとyを入れ替えて、
x=1/(y³+1)としました。(この関数をyについて解けば、逆関数をおおよそ基本の形で表記したものになる。)
今、問題の「x=1/9における～」で、
逆関数では、このxはyに該当するため、逆関数のyに代入すると思いましたが、
解答を見てみると、xの方に代入していました。なぜですか？

44(x)=22141
を求めよ。
x3+1
の逆関数f'(x) の x=
9
における微分係数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

綾野穂香

重要な点は、

1. 逆関数 f⁻¹(x) が x の関数であること
2. 逆関数であるかどうかが微分係数の求め方に影響しないこと

の二つです。元の関数 y=1/(x³+1) を x について解いて得られる関数 x=∛(1/y-1) は y の関数 (y を入れると x が求まるもの)です。しかし、y=1/(x³+1) の x と y を入れ替えてから、 y について解いて得られる関数 y=∛(1/x-1) は x の関数(x を入れると y が求まるもの)です。左辺に y があり、右辺に x があることに注意してください。文字を入れ替える操作によって、y の関数を(等価な) x の関数に書き直しているため、このようにして求めた逆関数 f⁻¹(x)=∛(1/x-1) は x の関数です。ここで、逆関数であったことが分からないようにするために、g(x) = f⁻¹(x) としてみます。すると、問題文は「x の関数 g(x) = ∛(1/x-1) の x=1/9 における微分係数を求めよ。」と書き換えることができます。そのため、逆関数を求めてしまえば、それが逆関数であるかどうかは微分係数の求め方に影響しません。

Rose

遅れてしまって申し訳ございませんm(_ _)m丁寧な解説をありがとうございました!