Question

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求教學證明那一題
希望能附上證明中使用的定理
雖然已經給了提示但是我還是解不出來
拜託各位大大幫忙證明剩下的部分🙏

(6) (a² +2)(3² + 2)(y²+2) (7) (a-)(-y)(y-a)
證明:實係數n次方程式ax”+ax"]+..+ax²+x²+x+1=0的根不
可能全為實數(其中n為任意不小於3的正整數)。

* 提示:設 f(x) = ax"+ax" +..+ax²+x²+x+1且令t=-
1,
X
MANTIN
將x=-代入f(x),可得t"+1" +⋯+at+a=0。
使用根與係數的關係即可製造矛盾(假設原方程式全為實根)。
Sat
gige
MAX=f

複數 根與係數

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+⋯+a₃x³+x²+x+1=0
反證法，設所有解均為實根
已知 x≠0 ，令 t=1/x
得 tⁿ+tⁿ⁻¹+tⁿ⁻²+a₃tⁿ⁻³+⋯+aₙ₋₁t+aₙ=0
則 t 的解也全為實根，設為 t₁, t₂, t₃, ⋯ , tₙ
由根與係數的關係可知
t₁+t₂+t₃+⋯+tₙ = -1
t₁t₂+t₁₃+⋯+tₙ₋₁tₙ = 1
又 (t₁+t₂+t₃+⋯+tₙ)²=t₁²+t₂²+t₃²+⋯+tₙ²+2(t₁t₂+t₁₃+⋯+tₙ₋₁tₙ)
因此
t₁²+t₂²+t₃²+⋯+tₙ²
=(t₁+t₂+t₃+⋯+tₙ)²-2(t₁t₂+t₁₃+⋯+tₙ₋₁tₙ)
=(-1)²-2(1)
=-1
但由於 t₁, t₂, t₃, ⋯ , tₙ 皆為實數
所以 t₁²+t₂²+t₃²+⋯+tₙ² ≥ 0 （矛盾）

故 aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+⋯+a₃x³+x²+x+1=0 的根不全為實數

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但是我還是不太懂為什麼t₁+t₂+t₃+⋯+tₙ = -1的-1是怎麼算出來的？可以請您再做詳細的說明嗎？謝謝

qn

(t-t₁)(t-t₂)(t-t₃)⋯(t-tₙ₋₁)(t-tₙ)
=tⁿ - (t₁+t₂+⋯+tₙ₋₁+tₙ)tⁿ⁻¹ +
(t₁t₂+t₁t₃+⋯+tₙ₋₁tₙ)tⁿ⁻² - ⋯
+(-1)ⁿ(t₁t₂⋯tₙ₋₁tₙ)

規律是正負交錯，相乘的數量遞增，
且所有組合都要加起來

總之就是用上面式子對照係數就可以知道

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喔喔懂了
感謝解答🙏