Question

sherry

1/2×[(1+2+...+8)²-(1²+2²+...+8²)]
=1/2×[36²-8×9×17÷6]
=648-102
=
請問為什麼這個題目是這樣解呢？？
謝謝

試求(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)展開式
中, ,x項係數為何?

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

括號乘開之後的每一項
就是每一個括號2選1乘起來

展開之後(合併同類項前)的其中一個 x⁶ 項為
某2個括號選數字，另外6個括號選x，相乘
所以它的係數也就是：任意兩個相異括號的數字相乘
(當然不同組合不能重複)

(如果列表可能比較好理解)
任意兩個相異括號的數字相乘
全部寫出來就是：
(1×2+1×3+⋯+1×8)+(2×3+2×4+⋯+2×8)+⋯+(7×8)
形式化來講就是：
所有m*n的組合(1≤m<n≤8)的總和（如圖一）

把總和乘以2倍(原本的總和+被乘數和乘數顛倒的總和)
可以變成
(1×2+1×3+⋯+1×8)+(2×1+2×3+⋯+2×8)+⋯+(8×1+8×2+⋯+8×7)
形式化來講就是：
所有m*n的組合(1≤m≤8, 1≤n≤8, m≠n)的總和（如圖二）

把自己和自己相乘的部分補上去再扣掉，變成
(1×1+1×2+1×3+⋯+1×8)+(2×1+2×2+2×3+⋯+2×8)+⋯+
(8×1+8×2+8×3+⋯+8×8)-(1²+2²+3²+⋯+8²)
每一個被乘數提出括號
=1×(1+2+3+⋯+8)+2×(1+2+3+⋯+8)+⋯+8×(1+2+3+⋯+8)-
(1²+2²+3²+⋯8²)
=(1+2+3+⋯+8)×(1+2+3+⋯+8)-(1²+2²+3²+⋯+8²)
=(1+2+3+⋯+8)²-(1²+2²+3³+⋯+8²)
然後不要忘記這是兩倍的總和
→ Ans=½[(1+2+3+⋯+8)²-(1²+2²+3²+⋯+8²)]

qn

如果對求和符號比較熟的話：