Question

もとさん

軌跡の問題です。
（2）で
点P (X,Y)とするのは
良いのですが
何故2乗するのか唐突な感じがします。

tを消去するためにやっているのでしょうが
わかりやすく解説していただけたら
大変助かります。

III 2直線æ- ty=0とt+y=2の交点をPとする。 ただし, t は実数とす
る。このとき,以下の設問に答えよ。 ( 32点)
(1) 点Pの座標をtを用いて表せ。 答は結果のみ解答欄に記入せよ。
このとき
(2) tがすべての実数値をとって変化するとき, 点Pの軌跡を求めよ。
(3)(2)で求めた軌跡と放物線y=√2² +1で囲まれた図形の面積を求めよ。
#3 0) (²1 741) ESAREN AR
+1
(2) 点P(X,Y) とおくと (1)の結果から
X²+ Y² = ( ¹2¹₁ )³ + ( _¹2_-)² _ 4 (²+1) ___4
(²+1)² ²+1
したがって X2+Y^-2Y = 0 X2+(Y-1)=1
ただし、40よりY>0である。
(1)(x-
E-ty:0
tx+y=2.
①xt
·tx-t²y=0
x+y=2
-t²y-g= -2
y (-t²-1) = -2
t²+1'
2t
X-t⋅ = ²77= x² +²³+1/
y= 2²41/
g
2 2t
魚(韓)
-=2Y
Y=
何故
t²+1 二乗することに
2
なるのか。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

綾野穂香

この模範解答は、ある程度答えを予想できていないと書きにくい解答です。一つの予想の仕方として、t を少しずつ変化させながら、点 P の座標の値を求めて平面上に点を描いていく方法があります。いくつか点を描くと円になりそうと予想することができるため、円の方程式の形から x 座標や y 座標を二乗するという発想は自然です。

ちなみに、別解として、t²+1 を消去するという方法もあります。X/Y を計算すると X/Y=t で、これを Y=2/(t²+1) に代入して整理しても、円の方程式が得られます。

もとさん

やはりそうですか。

円になるのを予感がしないといけないのですね。
ありがとうございました。