Question

りり

線形代数です。
教えていただけないでしょうか😭

2
次の命題の真偽について, 証明または反例を挙げて論ぜよ.
命題
線型空間 V 基底を 01.02,03, a4 とする. U は Vの線型部分空間であり,
a1, a₂ EU. a3 & U. a U
を満たすこのとき, a, Q2はUの基底の1組である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

りり様
命題は偽。
反例として、
a1=t(1,0,0,0)　←t( ) は転置行列
a2=t(0,1,0,0)
a3=t(0,0,1,0)
a4=t(0,0,0,1)
b=t(0,0,1,1)
とするとき、
a1 , a2 , a3 , a4 は V=R⁴ の基底であるから、
U=<a1 , a2 , b> は V の線型部分空間である。　←線型部分空間の定義をみたすか確認してみてください
∀x∈Uは
x=c1 a1+c2 a2+c3 b=c1 t(1,0,0,0)+c2 t(0,1,0,0)+c3 t(0,0,1,1)=t(c1,c2,c3,c3)　…①
であるから、
c1=1 , c2=0 , c3=0 とすれば　a1∈U
c1=0 , c2=1 , c3=0 とすれば　a2∈U
しかし、①の形から c1 , c2 , c3 をどうとっても　a3∉U , a4∉U
そして、
(1) a1 , a2 , b は一次独立　←①=0ならば、c1=c2=c3=0 です
(2) U=<a1 , a2 , b>　←上でそのように定めました
であるから、Uの基底は｛a1,a2,b｝であり、｛a1,a2｝ではない。　■

りり

ありがとうございました😭