重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大 最小 ①0000
f(x)=x-6x+9xとする。 区間 α ≦x≦a +1 におけるf(x) の最大値 M (a) を求
めよ。
13 *s* [大顔命立礫]
基本213
指針▷ まず, y=f(x)のグラフをかく。次に,幅1の区間α≦x≦a+1をx軸上で左側から移動
しながら, f(x) の最大値を考える。
なお,区間内でグラフが右上がりなら M (a)=f(a+1), 右下がりなら M (a)=f(a)
また,区間内に極大値を与える点を含めば, M(α) = ( 極大値) となる。
更に,区間内に極小値を与える点を含むときは, f(α)=f(α+1) となるα とαの大小に
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大
区間における最大・最小
解答
f'(x)=3x²-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると
x=1,3
増減表から, y=f(x)のグラフは
図のようになる。
心臓
口 [1] a+1< 1 すなわち a<0のとき
[2] a<1≦a+1 すなわち
0≦a<1のとき
M(a)=f(a+1)
=(a+1)³-6(a+1)² +9(a+1) O
=a³-3a²+4
最小極値と端の値をチェック
値と端の値をチェ
x
f'(x) +
f(x)
_ −(−9)±√(−9)²—4•3•4
a=
2.3
≦αのとき
以上から a < 0,
...
M(a)=f(1)=4
次に,2<α<3のとき f(a)=f(a+1) とすると
Ma³-6a²+9a=a³-3a²+4
9+√33
6
>
1
0
|極大|
4
9+√33
6
0≦a <1のとき M (α)=4;
1≦a <
YA
4
よって
2<α<3であるから, 5336 に注意して
[3] 1≦a<
9+√33
6
9+√33
[] [4] [9+83
6
a O 1
a+1
[2]
-
9±√33
6
a=
|極小|
0
y=f(x)
[3]
ゆえに 3²-9a+4=0
3
0 +
[4]
-1-
α3α +1 x
のとき M (a)=f(a)=α-6a²+9a
9+√33
反腸<x<tor
7
60
M(a)=f(a+1)=a³−3a²+4
saのとき M (a)=a-3a²+4;
のとき M (a) =α-6a²+9a
[1] 区間の右端で最大
**
4F
EMD
4F
M
711
a 01
10
1
II
I
I
I
1
I
T
I
I
Na+1
[2] ( 極大値) (最大値)
=
1
YA
最大
1
最大
Oa1
[3] 区間の左端で最大
YA
最大1
3
α3%
1.
1/
3
a+1
'3
a
I
0
La
a+1
[4] 区間の右端で最大
YA
1
a+1
I
最大
a+1
a+1
主
J
$
t=
した
