Question

みみ

数3積分の問題です。a nを求める時にa1と同じように求めるやり方でときたいのですが、計算式が分からないので教えて頂いきたいです。

練習 曲線 y=ers と y=exicosx で囲まれた図形のうち、(n-1)≦x≦nを満たす部分の面積を
5 250 an とする (n=1, 2,3, ......)。
(1) a1, an の値を求めよ。
(2) lim(a1+a2+・・・・・・ +αn) を求めよ。
[類 早稲田大〕
(1)
HINT |cos x|≦1であるから e-*≧e-x|cosx |
上側にある。
Sex cos
cosxdx=−e*cosx—Se*sinxdx
=-e
12 00
=
COS x
よって, 曲線 y=e-x は曲線 y=e-x|cosx | の
--ex sinx + fe*cosxdx)
=-e-*cosx+e-*sinx-fe-*cosxdx
積分定数を考えて fe*cosxdx=1/21ex (sinx-cosx)+C
15/01
0≦|cosx|≦1, ex>0であるから
ex=e*\cosx
nie+
↑① 上下関係を
←部分積分法。
530
←同形出現。
1
この不定積分はαを
求めるときに必要になる
ies+1) (3
調べる

普通に
求めるのが
best
way
よって
Y
₁1₁=S" (e¯* -e¯* |cos x) dx
π
-x
= [ -e * 1²-S²³²e- cos xdx+
1
-π_
=1-e- [e-x(sinx-cos x)
>]12
>__+467 =1-e-¹-
ると
+[e*(sinx-cos x)]*
2
2
=
-1-²-(+1)+(-e)
<(x)=-e-e-*--(1-2e-
また,
*tc, an=Son-DR (ex-e* cos x) dx V
x=t+(n-1)とおくと
dx=dt
n
xtの対応は右のようになる。
e-t-(n-1)=e(n-1e-t, cos{t+(n-1)π}|=|cost|K
Σak=a₁
a
n
よって lim Za
n→∞ k=1
2
=S₁ le-t-(n-1) - e-t-(n-1)7 | cos {t+(n−1)π}|]dt
=e=(n-1) n S₁(e-t-e-*|cost|)dt = e-(n-1)^
ak=-
-Sze-* cos x dx
2
=(1-2-²-e*) (
lime=0
n→∞
a1
1-e-T
----(1-26-1-e-)
(2) (1)より,数列{an} は初項a,公比e の等比数列であるか
ら
TE
1-e-nn
k=1
1-e-T
0 <e-"<1であるから
=
x(n-1)
o
t
nπ
ai
1-2e--e-n
2(1-e *)
T
e-2e2-1
2(e-1)
1
O
y=ex
a
72
y=e*\cosx\
T
← と同じようにして求
めてもよいが,置換積分
-gol-1
法を利用すると,αの結
果が利用できる。
X
←cos(n-1)=1,
sin(n-1)=0
の値を代入
1-r
α,公比rの等比
数列の初項から第n項
までの和は
(p+1_a(1—r”)
(r=1)