Question

Hi（受験生）

207.3
実数の範囲で考えているので、「虚数解をもつ」という記述は正しくないと聞いたのですが、どこからこの問題は実数の範囲で考えていることが読み取れるのでしょうか？？

基本例題207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①①①
(1) 関数f(x)=x3+αx2が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。
(2) 関数f(x)=x6x2 +6axが極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲
を求めよ。
(3) 関数f(x)=x+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。
ただし,αは定数とする｡
春 基本 201,206 重要 210
指針 3次関数f(x) が極値をもつ
⇔f'(x) の符号が変わる点がある
CBD 44
f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
⇔f'(x)=0 の判別式 D>0
D
=a²-3.0=a²
4 ===++
ここで
ゆえに (a+√3)(a-√3) 20
4
と
D>0
ここで
ゆえに, ²0 から a=0
(2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a) (220)
f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x) = 0 が異
なる2つの実数解をもつことである。
Ja
よって、x²-4x+2a=0の判別式をDとすると
4=(-2)^-1・2a=4-2a から4-2a>0より
(3) f'(x)=3x2+2ax+1
f(x) が極値をもたないための必要十分条件は、 f'(x) の符号
が変わらないことである。ゆえに, f(x)=0 すなわち
3x2+2ax+1=0
実数解をもたない。
よって, ① の判別式をDとすると
極大
x=α
P=a²-3.1=(a+√3)(a-√3)
解答
(1) f'(x)=3x2+2ax ①の判別式
f(x) が極値をもつための条件は,f'(x) = 0 が異なる2つの実 3次関数が極値をもつとき,
数解をもつことである。 3x²+2ax=0 の判別式をDとする
極大値と極小値を1つずつ
もつ｡
x(3x+2a) = 0 から
x=0, -a
D>0
a <2
･･････ ① は実数解を1つだけもつかまたは
( 3の係数)>0のとき
y=f(x) /
x=B₁
極小
よって -√3≦a≦√3
よって α=0
としてもよい。
(3)
V
y=f'(x) /
V
D=0
D≦0....... (*)DO
DI
y=f(x) /
(*) D<0は誤り。
y=f'(x)
x
har極大値と極小値をもつとき、 定数 αが
6:
3
関数の増減と極大・極小

3) fay = 3x²
+ 2ax f
toy p² c t l lu ce ty = 04² TFF 37=132ct. 201²-
O a ty B / # Z DETTE DEO
3x² + 2ax + 1
&
M
ト
a ² - ) = ƒ² | a² = 3₂
17²712 - 13 ≤ a
t
-9