Question

(¯―¯ ٥)

degf(x)=51 ,f(k) = 1/ k(k+1), k = 1, 2, 3 ,......,52 求f(53)=?

請問這題要怎麼計算
我假設 g(x)=x(x+1)f(x)-1 ,g(1)=0,g(2)=0,......g(52)=0
g(x)=ax(x-1)(x-2)......(x-52)

f(x)= g(x)+1 /(x)(x+1) = ax(x-1)(x-2)......(x-52)+1 / x(x+1)
再來就不知道怎麼算了@@ 答案是-26/1431

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

g(x)=(ax+b)(x-1)(x-2)⋯(x-52)
f(x)=[(ax+b)(x-1)(x-2)⋯(x-52)+1]/x(x+1)
但f(x)是多項式函數
其分子必須被分母整除
所以 0和-1是 g(x)+1=0的根
g(0)=-1=g(-1)
b(-1)(-2)⋯(-52)=(-a+b)(-2)(-3)⋯(-53)
b(-1)=(-a+b)(-53)
b=-53a+53b
53a=52b
又 b(-1)(-2)⋯(-52)=-1
→ b×(1×2×⋯×52)=-1

故 f(53)=[(53a+b)(52)(51)⋯(1)+1]/(53×54)
而 53a+b=53b
所以 f(53)=[53×b×(52×51×⋯×1)+1]/(53×54)
f(53)=[-53+1]/(53×54)
=-52/(53×54)
=-26/(53×27)
=-26/1431

(¯―¯ ٥)

感謝大大我學會了^O^，原本缺少了"多項式函數其分子必須被分母整除"的觀念