Question

Hi（受験生）

49.2
「異符号の解をもつ」だけの条件ということは、虚数解を持つ場合もokだから判別式>0は不要ということですよね？？

82
0000
OS
基本例題 49 2次方程式の実数解の符号
$03420+ 5021 Fo
2次方程式x^2-(a-10)x+a+14 = 0 が次のような解をもつように,定数a
6-0 SARHA
の範囲を定めよ。
(1) 異なる2つの正の解
指針
20
与えられた方程式の解を α, β として,次の同値関係を利用する。
異なる2つの正の解⇔D> 0 かつα+β> 0 かつαB>0
異なる2つの負の解⇔ D> 0 かつα+B< 0) かつαB>0
< (50) ⇒aß<0 ) + (d-p} Casa da <
解答
05/14-917-5
2次方程式x2(a-10)x+a+140の2つの解をα, βとし
判別式をDとする。
ここで
D={-(a-10)}^-4(a+14)=α²-24a+44
=(a-2)(a-22)
10<8+ (50 80 <
(2) 異符号の解
UT
解と係数の関係から
(1) α=β,a> 0, β > 0 であるための条件は
D> 0 かつ α+β> 0 かつ a B > 0
(a-2)(a-22)>0
α+β=a-10,αβ=a+14
......
f(0)=a+14>0
(2) f(0)=a+14 < 0
D> 0 から
ゆえに
a<2,22<a ① +2=3+ +2-
a+B>07²5
a-10>0
よって a>10 (*.... ②
aβ> 0 から a +14> 0
よって a> -14
(3)
①, ②, ③ の共通範囲を求めて
a>22
(2) α, βが異符号であるための条件は
ゆえに
a+14<0
よって
a<-14
検討グラフの利用
2次関数f(x)=x²-(a-10)x+a+14
のグラフを利用すると, α<β として
(1) D=(a-2)(a-22)>0,
aβ<0
to
(1)
x=
軸について x=
;=a −¹0 >0, < (d)\_d> {0}\&\
a-10
2
30 (4)\AFAS
a30180<
a-10
2
SANFORD
(12) ともに, 数学Ⅰで学
した2次関数のグラフを利用
して考えることができる。
< の検討参照。
B
HAAR SOONE SOOJ
0>86T (=) 0 1
p.81 基本事項
異なる2つの正解とある
から, α=βで D>0
A
-14
教師
)
[αβ < 0 ならD> 0 は常に成
り立つ。
(2)
2 10 22 a
f(x)
OF
a
0
B
00>D

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

>「異符号の解をもつ」だけの条件ということは、
虚数解を持つ場合もokだから
判別式>0は不要ということですよね？？

違います
虚数には正負の概念がないので、
異符号という時点で実数解に限られます

判別式Dを考えなくてもよい（考えてもよいが…）理由は、
αβ<0の条件を満たした時点で
D>0も自ずと成り立っているからです
言い換えると、αβ<0を満たすaの範囲が、
D>0を満たすaの範囲に含まれるということです
αβ<0の条件にD>0の条件を加えても影響がありません

Answer 2

あいうえお

試しにd >0も条件に加えて計算してみてください。この範囲がαβ＜0に入っていることが確認できるはずです。

Answer 3

ななし

αβ<0となる場合は必ず判別式>0となり実数解となります、なので判別式は不要です。

Hi（受験生）

それはなぜなのでしょう？？

ななし

α,βを解に持つ時、2次方程式は(x-α)(x-β)＝0、展開してx^2−(α＋β)x+αβ＝0
この式について判別式を考えるとD＝(α+β)^2−4αβ
これを見るとαβ<0の時D>0であることが分かる