Question

Hi（受験生）

40.
x=αと置いた理由ってこういうことですか？
（赤で書いたところ）

70
00000
重要 例題 40 係数に虚数を含む2次方程式の解
x の方程式(i+1)x²+(k+i)x+ki+1=0 が実数解をもつとき, 実数kの値を
めよ。 ただし, =-1 とする。
類 専修
指針▷実数解をもつことから, 判別式D≧0を利用したいところだが,判別式が使えるのは,
係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解をαとして (i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0
えについて整理して (a²+ka+1)+(a2+a+k)i=0
ここで,複素数の相等条件 A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔A = 0, B=0
ROO
を利用する。
解答
方程式の実数解を x =α とすると
(i+1)a²+(k+i)a+ki+1=0
iについて整理すると
a2+ka+1, α² + α + k は実数であるから
a²+ka+1=0
(a²+ka+1)+(a²+a+k) i=0
1, a²+a+k=0
① ② から
よって (k-1)(a-1)=0
[1] k=1のとき, ①, ② はともに a2+α+1=0
判別式をDとすると
D<0であるから, αは虚数解となり,条件に適さない。
[2] α=1のとき, ② から k=-2 これは ① も満たす。
したがって
k=-2
別解 [①, ② を導くところまでは同じ ]
②から
3
(k-1)a+1-k=0
よって
このとき, ③から
k=-a²-a
① に代入して整理すると a³-1=0
(a-1)(a²+a+1)=0
(2)
ゆえに k=1 または α=1
......
ゆえに
a は実数であるから+α+1=(a+2/12/2)+1/12/3 20
α
>
α-1=0 すなわち α=1
k=-2
基本35
立 TRAHO
A,Bが実数のとき
A+Bi=0
D=12-4・1・1=-31 + sl- (実数αに対して①
(a + ²/2 ) ² + + ²³²/ > 0
であることから,示しても
よい。
A
|⇔A=0,B=0.0
POL
0
SN
FR
TR-
これは, 高次方程式 ( α の3
次方程式)。
高次方程式の解法は, p.95
以後を参照。
Hot
検討 判別式が使える条件
2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類を判別するときは, 判別式D=62-4ac を利用して考え
るが,そのとき, 係数 α, b,cが実数であるという条件を忘れてはいけない。
例えば, 方程式ix2+x=0 に対し, 判別式を適用するとD=12-4•i•0=1>0であり
しかし 方程式を解くとx=0であり

方程式の実数をこめておくと、
ベンチ×1²+(k+2x+kì+1=0
数を含む方程式では人が教師を
もつ場合があるかど入を実数解が確定しているかと置いた!!

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

この場合xは複素数なわけだから、
(…xの式…)+(…xの式…)i=0と変形しても、
「複素数の相等」が使えません、
というか表記上わかりにくいというか

x=α(実数)とおくことで
(…αの式…)+(…αの式…)i=0
と書け、αの式は実数だから、複素数の相等が使えます、
というか何というか

あなたの赤字について
係数が実数だろうが虚数だろうが
虚数解をもつ場合はあるので、
理由としてはズレているように思います

Hi（受験生）

方程式が成り立てばどんな値でも解となるxから実数解だけを表すα（x=αとする。）だけで考える（実数解について問われているから）というニュアンスですかね？？

和

日本語がよくわかりませんが、まあ、そうですかね

2次方程式が実数解をもつといっても、
実数解だけなのか実数解と虚数解をもつのか
いろいろありうる（xは実数か虚数か不明）

そこで、実数αを設定して、
実数解αをもつとすることで、
xの式からαの式に変わります
これにより(実数A)+(実数B)i=0と表せ、
A=0かつB=0とすることができます

Hi（受験生）

ということは、余談ですがαはα=1のひとつしか解が出てこなかったからもうひとつのxの解は虚数解であると考えられますか？

和

α=1のときは模範解答の[2]の場合です
これによる、このときk=-2です

これをはじめの方程式に代入すれば、
それが因数分解され、
もうひとつの解がわかります

Hi（受験生）

なるほどです。ありがとうございます！