Question

ゲスト理系

数学IIIの問題です。どうしても⑵の答えを理解できません。V＝hの二乗になったのに求める時のV＝にはdt が入っています。なぜ入れるのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

応用問題
429 放物線y=x2 上の点P(x, x2) から直線y=x に
垂線PHを下ろし, PH=h, OH=t とする。
(1) 0≦x≦1のとき, h, tをxの式で表せ。
(2) 放物線y=x2 と直線y=x で囲まれた部分が,
直線y=xの周りに1回転してできる回転体
の体積Vを求めよ。
YA
H
h
y=x2
A
P(x,x2)
1
y=x
x
第7章 積分法とその応用

429 (1) h=2
t=√√2x-h
x-x2
√√2
2x-(x-x²)
√√2
x+x²
√2
v=S² S(t)dt =
v=S₁
t
X
よって
TS
x+x²
(1) よりt=
であるから
√√2
txの対応は次のようになる。
0→ √2
0 → 1
V=T
- x²
(2) 放物線y=x2と直線y=x の交点は 0 (0, 0),
A (1,1) で, OA=√2である。
Hを通り,直線y=xに垂直な平面で回転体を切
ったときの断面積を S(t) とすると
h²dt
x-.
√2
T
Cl
2√2 Jo
1
x3
√2
2√2 3
H
2
1+2x
√2
h
AP
y=x2
430 (1) ₁(t²-4t-
S₁ (1²_4₁+3)dt = √²
3
-dx
A
P(x, x²)
x 1 x
dt=-
y=x
1
12
3x5
x6
-*-***-**
+
5
1+2x dx
√2
=
√√2
60
(LTE)
-2t² +3t
43

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

ゲスト理系さま
回転体を直線 y=x に垂直な平面で切ったときの細分幅をΔt、
直線 y=x 上の点(t,t) (0≦t≦√2)における断面積をS(t)とすると
V≒ΣS(t)Δt　←Σ（断面積）×（細分幅）。細分幅が小さいときは「底面積S(t)、高さΔtの柱体の集まり」と考えられる。
よって、
V=∫S(t)dt=∫πh²dt　←S(t)=πh²
　　　　　=π∫h²dt
になります。あとは（１）の結果から h と t を x で表して計算します。

ゲスト理系

ありがとうございました。理解できました。