数学ⅡI・数学B
第2問 (必答問題 ) (配点 30)
関数 f(x) = 3x²-6x+3 について考える。 曲線 y=f(x) をCとする。
関数f(x) の導関数 f'(x) は
である。
f'(x) =
であるから, C上の点A(0, 3) におけるCの接線をeとすると, l の方程式は
y =
ウエ
アx-
6
x+
イ
オ
また, kを実数とし, g(x)=kx+ オ 3 とおく。
h(t) = = f'(f(x) = g(x)}dx
とすると,kの値によらずん(-1)=
カ
が成り立つ。
数学ⅡI･数学B 第2問は次ページに続く。)
(1) k=
-6
ウエ
h' (t) =
ことがわかる。
とする。
2
YA
g(x)=-6x+3
t
O
であるから,y=h(t) のグラフの概形は
f(x)-g(x)=3x-x+3+6×
ケ については,最も適当なものを、次の①~③のうちから一つ選べ。
②
③
VA
数学ⅡI・数学B
0
TH
ケ
t
である
ya
fr
(数学ⅡI・数学B 第2問は次ページに続く。)
2
3+²
7
数学ⅡI・数学B
-6
(2)
a =
ウエ <<0とする。 また, 直線y=g(x) をm とする。
(0.3)
k+
Cとmの交点のうち, 点Aと異なる点のx座標は
k+
t
である。
ここで、f(x)-g(x) をxとα を用いて表すと
f(x)-g(x)=
t
43
S=1+
S2=
コ6
である。 これにより
☆
が成り立ち、
である。 また, Cとm で囲まれた図形の面積をSとすると
チ
G
Si-S2=
である。
Cとm および直線x=-1 で囲まれた図形のうち, -1≦x≦0 の範囲にある
部分の面積をS とすると
S. (3x (x-a)) dx
0 x(x-α)
の解答群
ヌ の解答群
とすると,αのとり得る値の範囲は
シ
タ2
α
チ
kx+3
<a<
2
atl
ス
① x(x+α)
ト
SE
け
のとき, Sh
a-
2 3x(x-a)
(x-a)
ヌ
コ
<
シ
である。
<a<
ス
3x²-3ax
[x²-tax];
-(-1-1a)
= 1 + = a
S2 である。
3 3x(x+a)
(数学ⅡⅠ・数学B 第2問は次ページに続く。)
以上により,
A
あることがわかる。
ネ
VA
O
ウエ <k<0のとき、y=h(t) のグラフの概形は
7
については,最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。
①
②
③
NP.
0
3x^²+(-6-k) -0.
x{3x-6-k)=0
+6+k=+32
6tk
X=
3x²-6x+3-kx*3
+ (+6830)x
数学ⅡI・数学B
bxXx-3ax
-6+3a=k
YA
3X^-3aX+6 = 3X (X-a)
(ax+2)
<-31-
ネ
0
k=3x-6
-6 <3X-6 <0
で
t
-6 <-6+3a co
O<3a <6
ocacz
Si= f(f(x)-g(x)}dx
-(3x²-3x) dx
= 1+/-a
また, Oxα のとき,
g(x) f(x)であるから
よって
S2= = f*lg(x)-f(x)} dx
=S%e (-3x² +3ax) dx
) = f(f(x)-g(x)}dx kh
次に、h(t)=
h' (t) = f(t)-g(t) = 3t (t-a)
h'(t)=0 とおくと t = 0,α
より (t) の増減表は次のようになる。
S.-S. (1+ a) a
=(a²-3a-2)
==/(a+1)²(a−2)
ここで、0<a<2のとき, (a+1)^>0, α-2<0であるから
S-S20
すなわち S> S ⑩⑩
t
0
また、極小値について
0
k(t) / 極大極小
a
h(a) == - S* {f(x)-g(x)) dx
-1
O
0 +
S₁
1
y=f(x)
a
= S(16x)-9(x)]dx+ [*(16x) = g(x)}dx
-S" (f(x)-g(x)) dx-[(g(x)-f(x)) dx
= S-S, >0
したがって、y(t) のグラフの形は次の図のようになる。(②
y=g(x)
◄ -f3x (x-a) dx
= 3/(a−0)
と計算してもよい。
<P(α) = α3-34-2 とおくと､
P(−1)=0 であるから, P(α)は
α+1 を因数にもち
P(a) = (a+1)(a²-a-2)
=(a+1)^(α-2)
選択肢のグラフを見ると極
もつグラフは極小値の符号に違い
あるから、符号を調べる。その厚
積分の値を図形的に考えて、
ある Si, S と関連付ける。
(1)
数学Ⅱ・数学B 第3問 確率分布と統計的な推測
解法
[1]
(2)
作物A1個を無作為に抽出し収穫したときに、それが規格内に収まる
である確率は, 0.8=-
= 14 である。Xは二項分布B (100, 4)に従うか
の平均 E(X) と標準偏差 (X) は
E(X)=100・
00-4=
(X)=100
<=80
√100--/-(1-4)=
標本比率を R' とすると
360
R' = -= 0.9
400
R'-1.96√ 1400
ここで.R'=
[R'(1-R)
1.96.
400円は十分に大きいから、母比率に対する信頼度 95%信頼区間
R' (1-R')
sps R'+1.96
400
0
9
10
R'(1-R')
400
R'-1.96,
R' (1-R')
1400
であるから
9
1
1
400 10 10
α
|=√16=4
= 1.96x
R'(1-R')
400
t
R' (1-R')
400
3²
200²
3
200
=0.0294
-=0.9-0.0294 = 0.87060.871
=0.9+0.02940.9294≒ 0.929
R' +1.96.
よって、求める信頼区間は
0.871 Sp≤0.929
また、標本の大きさが400, 標本比率 R' = 0.9 のときの信頼度
区間の幅をLとすると, ① より
0.9×0.1
L=0.9 +1.96y 1400
0.9×0.1
(0.9-1.96 400
0より大きいと出ているにも関わらず、xが-1以下で0より小さくなっているのはなぜですか？