Question

あや

演習β 第29回 添削
(2)解説が全く理解できません。どういうことか分かりやすく教えてください。

[1998 東京都立大]
整式f(x) について, 恒等式f (x2)=xf (x+1)-2x+2x2 が成り立つとする.
(1) f(0), f(1), f (2) の値を求めよ.
(2) f(x) の次数を求めよ.
(3) f(x) を決定せよ.
解説
(1) 与式に,x=0を代入するとf(0)=0
x=-1を代入すると f(1)=0
x=1 を代入すると f (2) = f(1) = 0
よって f(0)=f(1)=f(2)=0
1530 251th²²) = x²³ f(x+1)=2x²+2x²
(2) f(x) の次数をnとする. f(x) は恒等的に0ではないから, (1) より n ≧3である.
ここで, 恒等式の両辺の次数を比較すると 2n=n+3
よって n=3
(3) (1), (2) の結果から f(x) = ax(x-1)(x-2) と書ける.
よって f(x2)=ax2(x2−1)(x2-2),f(x+1)=a(x+1)x(x-1)を恒等式に代入すると
ax2(x2−1)(x2-2)=x・α(x+1)x(x-1)-2x+2x2
更に, x 2の項の係数を比較すると 2a=2
ゆえにf(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x
よって α=1

関数方程式･恒等式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

すけ

f(x)の次数をnとすると、左辺の次数は2nになります。
また、図の青線の部分の次数がn+3、
図の緑線の部分の次数が4だから、
右辺の次数はn+3または4となります。

ここでn+3<4とするとn<1となり、n=0となるがこれは不適です。(∵n=0のとき左辺は定数となるが、右辺はxの4次式となります。)

したがってn+3≧4となり、右辺の次数はn+3となります。
よって、2n=n+3よりn=3となるためf(x)の次数は3となります。

あや

青線の部分の次数がn+3というのが、イメージ出来ないです💦

すけ

例えば、x^2･x^3だと2+3=5より5次式ですよね。
青線部分はx^3･f(x+1)より3+n次式です。

あや

ありがとうございます！！