Question

るる

nとmが1以外に正の公約数のない自然数でなければいけない理由はなんですか？また自然数ではなく整数ではダメなのですか？

mとnがともに3の倍数→n、mが1以外に正の公約数のない自然数であることに矛盾→ルート３は無理数
という流れになるのかもよく分かりません💦

16 奴
証明せよ。
* 150 / 整数 m について,m² が3の倍数ならばmは3の倍数である。このこと
を用いて, √3 が無理数であることを証明せよ。

150 「√3は無理数でない」 すなわち「V3は有理
数である」 と仮定すると、V3はある自然数m,
n を用いて,
m
√√3 = ²1
①
a
mとnは1以外に正の公約数がない自然数)
①
n
と表すことができる。
√3n=m=d
①から
この両辺を2乗すると 03n²=m² ②
よってm²は3の倍数である。
ゆえに、命題「整数mについて, m² が3の倍数
ならばmは3の倍数である｣ ...... (*) が真であ
ear
ることから,mは3の倍数である。
3の倍数mは、 ある自然数ん を用いて, m=3k
と表されるから,②に代入して
3n2=9k2
すなわち
n²=3k²
よって, n2は3の倍数であるから、命題 (*)が
真であることより, nは3の倍数である。
mとnがともに3の倍数となることは、mとn
に1以外の正の公約数がないことに矛盾する。
したがって、V3は無理数である。
2
1A+N
1

Answer 1

mol

まず、自然数でなくては行けないのは、整数で考えると負の数も考えないといけなくなるからです。正の整数と限定するといけますが正の整数とは自然数のことですね。なので自然数としています。
次に｢nとmが1以外に正の公約数をもたない｣これを言い換えると、｢nとmは互いに素（既約分数）｣と言い換えることが出来ます。つまり(これ以上約分できない数)=(1以外に正の公約数を持たない数)。ということです。
また、mとnがともに3の倍数になると少なくとも3がmとnの公約数になってしまい(3で約分できる)、仮定（mとnが互いに素）に矛盾します。これによって示されています。