Question

Hi（受験生）

22.
1.2両方この記述でも大丈夫ですか？？

42
基本例題 22 条件つきの等式の証明
a+b+c=0のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) a²+26²-c²+3ab+bc=0
(2) a³ + b³ + c³ = -3(a+b)(b+c)(c+a)
指針a+b+c=0は条件式であるから, 文字を減らす方針で進める。
すなわち, c=-a-b[=-(a+b)] として, cを減らす。
【CHART 条件式 文字を減らす方針で使う
解答
(1) a+b+c=0より, c=-(a+b) であるから
a²+26²2-c2+3ab+bc=a²+26²-(a+b)2+3ab-b(a+b)
=a²+26²-(a²+2ab+b²)
+3ab-ab-b2
=0
(2)a+b+c=0より, c=-(a+b)であるから
a³ + b³ + c³+3(a+b)(b+c)(c+a)
このとき, a,bは自由に動くことができて, この問題は, a,b,cの3文字から
2文字についての等式の証明になる。
(2) 前ページ例題21の指針3の方針。
A=B⇔A-B=0 から,a3+b+c3+3(a+b)(b+c)(c+α)=0を証明する。 HAL
=a³+b³—(a+b)³ +3(a+b)(b¬a−b)(-a-b+a)
=a³+b³-(a³+3a²b+3ab²+b³)+3ab(a+b)
=-3a²b-3ab²+3a²b+3ab²
=0
したがって
a³+b³+c³=−3(a+b)(b+c)(c+a)
本
..40 基本
0
a
b
a
b
(2)
答
b
<c=-a-b=- (a+i) えに
<{-(a+b)}^=(a+b)
=(a+b)-3ab(a+b
を利用してもよい。
につ
a
b
(a+b) を展開せずにゆえ
a³ +6³
検討 条件式を丸ごと利用する
a+b+c3=3abc すなわち+b+c-3abc=0を証明すればよい。 ここで, p.10で取りチー
a+b+c=0 より, a+b=-c, b+c=-a,c+α=-bであるから, (2) では
た因数分解の公式5を利用すると,次のように、条件式a+b+c=0を丸ごと代入できる。
a³ + b³ + c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)-0
こ
考

例題22
1 a² +2²5²³²_c²^² + b ab + bc
- C
= Ca²+ b²³²+ c²^² + 2ab + 2bc +2ca/
+ b²³² - 2 c²² tab-bc-2ca
2
= (a + b + c)²³² + b(a+b+c)
= 0 ( a + b + c = 0 )
£₂₁ ₂2 α²²² + 2√b² - c² + 3ab + bc. =
[ EXTE2.
二
= (a + b + c)²³² + ( b ² + ab - bc) -2c² - 2 ca
= (a + b + c)²³² + b(a+b = c) = 2c(a+c)
= (a + b + c)²³² + b(a+b-c)-2c(-b) (: a+c= -b)
NO.
2) 0²³² + b²³² +²²³² = (a + b + c)²³² - Bab(a+b) = 3bc (b+c)
- bca (c + a)- babc
= (a + b + c)²³² + 3abc
= 3abc (= a + b + c = 0 /
DATE
-3 (a + b)(b + c/c+a) = -3 (ab+ca + b ² + bc)(c+a/
-
= (a + b + c)²³ = 3ab (-c)-3bc (-a)- 3 ca(-b)-6abc
= (a + b + c)²² + 9 abc - 6abc
= 3abc
£₁ 2 α²³² +² p²³²+ ( ²³² = − 3 ( a + b )(b + c)(c + a) #² EX / In
7
Para
15 1
= -5 (abc + c²a + b²c + bc² + a²b +ca²+ap² tabc,
= -3ab (a + b) - 3bc (b + c)-3ca (c-a)-bab
= 9 abc - 6abc
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