Question

koki

(2)の0<x<1においての部分で、x=0やx=1を含めないのは何故ですか

■例題
23
考え方
文字係数の関数の最大値
aは定数とする。 次の関数の最大値を求めよ。
f(x)=-x3+3ax (0≦x≦1)
最大値の候補は定義域の端におけるf(x) の値, または極大値であるから,極大
値をとるxの値と定義域の位置関係を考える。
解答 f(x)=-x+3axを微分すると
a≦0のとき
0<x<1において f'(x)<0であるから, f(x) は定義域で常に減少する。
よって, f(x) はx=0で最大となる。
a>0のとき
f'(x)=0 とすると x= ± √a
[1] 0<√a <1 すなわち0<a<1のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
20
√a
1
BURAZ SU
xC
(f'(x)
求めるf(x)
以上から
...
+ 20
> 極大
よって, f(x)はx=√a で最大となる。
レン
[2] 1≦√a すなわち 1≦a のとき
0<x<1においてf'(x)>0 であるから,
f(x) は定義域で常に増加する。
よって, f(x) はx=1で最大となる。
a≦0のとき
0<a<1のとき
1≦a のとき
f'(x)=-3x²+3a=-3(x^²-a)
-
x=0で最大値 0
x=√d で最大値2a√a
x=1で最大値3a-1 圀
[1] f(x)
[2] f(x)
最大
10 a
19
最大
1√a
x
x

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

y.takano

重大な意味はないように思います。
定義域の端にちょうど極値が来た場合、その端の点を含めると、範囲内で単調増加と言えなくなってしまう（極値を取る点ではf'(x)=0で増減なし）のを避けているのかもしれません。定義域の端に関しては値さえわかればそこでの増減は答えに影響しないので。

koki

ありがとうございます！