Question

Yuki

（3）の最初のa＝2とはどういうことですか

18 微分法の応用
234. 不等式の成立条件〉
a ≧0である定数αに対して, f(x)=2x-3(a+1)x2 +6ax +α とする。
(1) f'(x) を求めよ。
(2) a=0 のとき, f(x) の極値を求め, 関数 y=f(x) のグラフをかけ。
(3) x≧0 において f(x) ≧0 となるようなαの値の範囲を求めよ。
63
[17 岡山理科大・理系]

234 〈不等式の成立条件 >
(3) f'(x)=(x-1)(x-α) から f(x) の増減を調べるには,次のように場合分けをする。
[3] a>1 のとき
[2] α=1のとき
[1] 0<a<1のとき
[2] の場合は,f'(x)=6(x-1)2≧0となるから, f(x) は単調に増加する。
x≧0 において f(x)≧0となるx≧0 におけるf(x) の最小値が0以上
(1) f'(x)=6x²-6(a+1)x+6a
(2)a=0のときf(x)=2x-3x2, f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)
f'(x)=0 とすると x=0,1
f(x) の増減表は次のようになる。
0
1
f'(x) +
0
20 +
f(x) 極大 極小
x
***
...
-
x=0のとき
極大値f(0) = 0
x=1のとき
極小値f(1)=-1
よって 関数 y=f(x) のグラフは
右の図のようになる。
YA
-1
y=f(x) |
1
3
2
x
<-f(x)=x²(2x-3)

なる実数解の個数を
らな
ら
(3) f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-α)
(2)の結果から,a=0のときは不適。
[1] 0 <a <1のとき
x≧0 におけるf(x)
の増減表は右のよう
になる。
f(0) =a ≥0
f(1) = 2.1°-3(a+1)・12+6a・1+α
[2] α=1のとき
f'(x)
f(x)
=4a-1
よって, x≧0 において f(x) ≧0となるのは
0
1/2
:
4a-1≧0 すなわち a ≧
az
のときである。 これと 0≦a<1の共通範囲は
≤a<1
xC
f'(x)
f(x)
≤as ³
+
20
3+√13
1<a≦
2
[1], [2][3] から求めるαの値の範囲は
3+√13
2
f'(x)=6(x-1)2 ≧ 0
よって, f(x) は単調に増加する。
f(0)=1よりx≧0 において f(x) ≧1 であり,a=1 は条件を
満たす。
[3] α >1 のとき
x≧0 におけるf(x)
の増減表は右のよう
になる。
f(0) =a ≥0
f(a)=2.a³-3(a+1) a² +6a.a+a
1
20
0
極大ゝ 極小
...
a
+
:
T
=-a³+3a²+a
=-a(a²-3a-1)
a>0であるから, x≧0 において f(a) ≧0 となるのは
3-√13
3+√13
a²−3a-1≦0 すなわち
sas
2
2
のときである。 これと α>1 の共通範囲は
T
+
>
a
1
0
20
極大 極小 >
+
f(0) も最小値の可能性が
あるので, その値を調べる
必要がある。
◆最小値はf (0) である。
f(0) も最小値の可能性が
あるので, その値を調べる
必要がある。