Question

あ

（2）で解答の青いマーカー部がわかりません。

ル)
2来
正の実数xについて,以下の問いに答えよ。
□(1) 自然数nに対し, 不等式x>
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。
n!
(2) 前問で示した不等式を用いて極限値 lim を求めよ。ただし,α は実数の定数である。
x²
x→∞ e
(3) 前問の結果を用いて極限値 lim x log x を求めよ。 ただし, b は正の実数である。
x→+0
('17 名古屋市立大薬)

対応
プラン
誰関
国公立
43
関
大
3
[1] n=1のとき A
f(x)=e*-x B
とおくと, x>0 において,
f'(x)=&1>0
[2] n=kのときA
よって, f(x) は単調に増加する。
ゆえに, x>0 において,
f(x) >f(0)=1>0 B
すなわち, ex > x となり, ① は成立する。
①が成立すると仮定すると,
・・・・･・
②
et > ²
k!
このとき
g(x)=e*-
とおくと,
g'(x)=ex-
ex
また, (1) より, ex>
x" (n+1)!
ex
x
③ ④ より,
xk+1
(k+ 1)!
ex
正の実数
xk
k!
g(x)>g(0)=1>0<B
(k+1)x*
(k+1)!
x
→ 0
0<<(n+1)!
ここで,x→∞ のとき
(n+1)!
x
= ex-
5504
②より,g'(x) >0なので, x>0 において,g(x) は単調に増加する。
ゆえに, x>0 において,
振り返り
Check
x+1
(n+1)!
B
トラゼー1が0より大きいと言い切れる?
すなわち, ex >
となり,n=k+1のときも ① は成立する。
(k+1)!
ゆえに, 数学的帰納法により、 すべての自然数nに対して ① は成立する。A
( 証明終わり)
このしだったとき
0.1
- e
(2) x→∞よりx≧1としてよく、自然数n をa≦nを満たすとすると, C す自然数nを考える。
x≧1 において, x≦x" だから,
(1) の不等式において,xの指数
は自然数なので, a≦nを満た
0< x²
ex
3 D
だから,
A 基礎事項!
5
□関数的視点で考え, 微分法を利用して証明できたか
D
B POINT
数学的帰納法
自然数nに関する事柄Pが、
すべての自然数n
Inについて成り
立つことを証明するには,次の
2つのことを示す。
[1] n=1のときが成り立
つ。
[2] n=kのときPが成り立
一つと仮定すると,n=k+1
のときにもPが成り立つ。
振り返り
(CHECK (1) の不等式を利用して, 0に収束する関数ではさむことができたか
関数的視点で考え、微分
法を利用して証明する
不等式g(x)>h(x) を証明する
とき、f(x)=g(x) h(x) とお
いて微分法を利用し,
(f(x) の最小値) > 0
を示す。
C
D POINT
ゆえ
x²
ex
(3)
極限値αを予想して, α
に収束する関数ではさみ
うちをする
Xは0に収束することが予想
できるので、 正の数であること
ex
から左を0でおさえ, 右を
でおさえる。 ここで (1) の不等式
として利用すると、
X
となり,右辺が0に収束するこ
とが示せない。 そこで、解答の
ようにxの次数を1つ上げて不
等式④をつくると、分母にょが
あるので0に収束する。