Mathematics
高中
已解決

この問題の解答の(i)で、上から2桁目が1か3のものと書いてありますが、1の場合は分かりますが、3の時も同じようにしていい理由が分かりません。
条件(I)が満たされてないように思えます

77* n は正の整数とする. n桁の自然数のうち,次の (I)~ (II) の条件をすべて みたすものが an 通りあるとする. (I) 最高位の数は1である。 (Ⅱ) 1,2,3 以外の数字は現れない. GA GDAX (III) 数字2は2個以上連続して現れることはない. このとき, an を求めよ. JAA TA 90AA 280A/ (名古屋文理大)
1 ** 77 【解答】 条件 (I), (II), (ⅢI) をみたす n+2 桁の自然数は an+2 通りある。このうち, (i) 上から2桁目が1のもの、3のものは各々 an+1 通りずつある. (ii) 上から2桁目が2のものは, これを, 上から3桁目が1のもの, 3のものは各々 an 通りずつある. (S+* 1 2 3 4. n+1 n+2 (i) 1 (1か3 (ii) 1 以上の (i), (ii) から 201-1+8+18+18=1 2 1か3 an+2=2(an+1+an), (n=1, 2, 3, …) an+2-αan+1=B(an+1-αan) ⇒ an+2=(a+β)an+1-aBan (④⑤) x1 より, 2√3 =$+x² == -1/B². B²-1=1/B²+1, -B2・Bn 2 An+2 2X an+1 IX.Je と変形すると, a+β=2, aβ=-2. よって, α, β は2次方程式x-2x-2=0の2解 x=1±√3である. 条件 (I), (II),(ⅢI) から, α = 1, α2=3 だから, ② より an+1-αan=β"- 1 (a2-αai) = (3-α)β"-1=(1+β)β"-1 (③) (ここで, B-2B-2=0 より 1+B=1/12/12 だから) 2Xan よって, (a, B)=(1-√3,1+√3) のとき, an+1- (1-√3)an=1/2(1+√3)*+*:. (a, B)=(1+√3,1-√3) のとき, anti-(1+√3)an=1/(1-√3) +1. a.-√3 an 12 n+ -{(1+√3)”+¹−(1−√3)"+¹}. (n≥1) ‥. ② (5 (答)

解答

✨ 最佳解答 ✨

3桁目以降の組み合わせが3桁目が1の時も3の時もそれぞれan通りある。という話なので、実際1桁目は1から始まってるため、条件(1)は満たしています。

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