Question

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この問題の解答の(i)で、上から2桁目が1か3のものと書いてありますが、1の場合は分かりますが、3の時も同じようにしていい理由が分かりません。
条件(I)が満たされてないように思えます

77* n は正の整数とする. n桁の自然数のうち,次の (I)~ (II) の条件をすべて
みたすものが an 通りあるとする.
(I) 最高位の数は1である。
(Ⅱ) 1,2,3 以外の数字は現れない.
GA GDAX
(III) 数字2は2個以上連続して現れることはない.
このとき, an を求めよ.
JAA
TA 90AA
280A/ (名古屋文理大)

1
**
77 【解答】
条件 (I), (II), (ⅢI) をみたす n+2 桁の自然数は an+2 通りある。このうち,
(i) 上から2桁目が1のもの、3のものは各々 an+1 通りずつある.
(ii) 上から2桁目が2のものは,
これを,
上から3桁目が1のもの, 3のものは各々 an 通りずつある.
(S+* 1 2 3
4.
n+1
n+2
(i)
1
(1か3
(ii)
1
以上の (i), (ii) から
201-1+8+18+18=1
2
1か3
an+2=2(an+1+an), (n=1, 2, 3, …)
an+2-αan+1=B(an+1-αan)
⇒ an+2=(a+β)an+1-aBan
(④⑤) x1 より,
2√3
=$+x²
== -1/B². B²-1=1/B²+1,
-B2・Bn
2
An+2
2X an+1
IX.Je
と変形すると,
a+β=2, aβ=-2.
よって, α, β は2次方程式x-2x-2=0の2解 x=1±√3である.
条件 (I), (II),(ⅢI) から, α = 1, α2=3 だから, ② より
an+1-αan=β"- 1 (a2-αai) = (3-α)β"-1=(1+β)β"-1 (③)
(ここで, B-2B-2=0 より 1+B=1/12/12 だから)
2Xan
よって,
(a, B)=(1-√3,1+√3) のとき, an+1- (1-√3)an=1/2(1+√3)*+*:.
(a, B)=(1+√3,1-√3) のとき, anti-(1+√3)an=1/(1-√3) +1.
a.-√3
an 12
n+
-{(1+√3)”+¹−(1−√3)"+¹}. (n≥1)
‥. ②
(5
(答)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

みこと

3桁目以降の組み合わせが3桁目が1の時も3の時もそれぞれan通りある。という話なので、実際1桁目は1から始まってるため、条件（1）は満たしています。