x3
AN
334- 数学ⅡI
EX
©210
a> 0に対し, f(a)=lim lax+xlogxdx とおくとき 次の問いに答えよ。 必要ならば,
1-+001
limt logt=0 ( 1 2 ......) を用いてよい。
1+0
① f (a) を求めよ。
aが正の実数全体を動くとき, f(α) の最小値とそのときのαの値を求めよ。
3
(1) g(x)=ax+xlogx
よって
0< x≤eª
g(x)=x(logx+a)
g(x) ≤0
x≧e-a のとき
g(x)=0
また、a>0のとき,0<e "<1である。
t→+0のときを考えるから, tを十分小さくとると
S₁lg(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+Sr_a9(x)dx
== g(x)dx=f(ax+xlog x) dx
x²
2
= x² + logx-S²dx
= x²(a+logx)-x²+C
x²(2logx+2a-1)+C (C1)
4-311
よって, G(x)=x2 (210gx+2a-1) とすると
e-a
S₁lg(x) dx=[-G(x)] + [G(x)].
e-a
=G(t)+G(1)-2G(e-a)
ここで, limt2logt=0であるから lim G(t)=0
したがって
t→+0
t→+0
(2) (1) から f'(a)=1/12(-2-20)+1/12--0-20+12/2
よってa=12/2log2
-2a-
ƒ(a)=lim{G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e¯ª)); ←f(a)
a 1
=(2a-1)-2. e.(-1)= 1 e ² + 2 --
-2a
-2a
4
(1+x)
f'(a)=0 とするとe
ゆえに, a>0 におけるf(α)
の増減表は右のようになる。
したがって, f(a) は
a = log2で最小となる。
最小値は12/2102)-1/12-0
og
e
a 0
.
f'(a)
f(a)
:
-
-log 2 +log 2-
4
4
+₁
4
2
log 2
= 1/2+1/2+11og2-1=11og2
4 4
0
極小
|←logx+a=0 とすると
log x=-a
よってx=e-a
:
+
[埼玉大]
←部分積分法。
Sxlogxdx=logxdx
yoll
←=G(ea) +G(t)
+G(1)-G(ea)
←G(t)=logt
+1-1²(2a-1)
=S₁lax+xlogx|dx
(広義の定積分)
O
←-2a=log
YA
1
2
y=-(A)*+/
log2
a
