Question

yyy

(１)
青線のところの意味がわからないので、解説をお願いします🙇‍♀️

286 次の条件を満たす自然数n をすべて求めよ。
(1) 14n+52と4n+17 の最大公約数が5になるような50以下のn
*(2) 11n+39 と 6n+20の最大公約数が7になるような100 以下のn
287 nは自然数とする。n²+7+3+5の最大公約数として考え
In 7 $1.

xot
286 (1) 14n+52=(4n+17)-3+(2+1)
4n+17=(2n+1)-2+15
よって, 14n+52 と4n+17 の最大公約数は,
2n+1と15の最大公約数に等しい。
したがって, 14n+52 と4n+17 の最大公約数が
5のとき, 2n+1は5の倍数であるが, 3の倍数
でない。
また, 3≦2n+1≦101 であり, 2n + 1 は奇数で
2n+1=5,25,35,55, 65,85,95
あるから
よって
n=2,12,17, 27, 32, 42,47

ユークリッドの互除法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ふぃる

以下「aとbの最大公約数」をgcd(a,b)と書きます
a＝bq＋rの時、gcd(a,b)＝gcd(b,r)が成り立ちます。互除法などの原理になる性質です。1つ目の青線はこれを繰り返し使っています。
1つ目の式から
gcd(14n＋52,4n＋17)＝gcd(4n＋17,2n＋1)
2つ目の式から
gcd(4n＋17,2n＋1)＝gcd(2n＋1,15)
よって1つ目の青線が成り立ちます。

問題文から、gcd(14n＋52,4n＋17)＝5
1つ目の青線と合わせて、gcd(2n＋1,15)＝5
よって2n＋1は少なくとも素因数5を持ち、素因数3は持たない。(3を持つと2n＋1は15の倍数になり、gcdは15になってしまうから)また、2n＋1がそれ以外の素因数を持っていても15はそれを持っていないから持っていてもok
これが2つ目の青線の主張です。

1≦n≦50より、
2≦2n≦100
3≦2n＋1≦101
これが3つ目の青線です。