Question

ぴひょ

二次方程式の解の存在範囲
(2)について条件式が赤字の式になるのが分かりません。どのように考えてこのようなものになりますか？

基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲
00000
2次方程式x2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数♪ の値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 X
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
指針
2次方程式x2px+p+2=0の2つの解をα,Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつ B-10
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい｡ α-38-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の解参照。
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解を α, β とし, 判別式 2次関数
をDとする。
=(-p)²-(p+2) =p²-p−2=(p+1)(p−2)
a+B=2p, aß=p+2
解と係数の関係から
(1) μ>1,β>1であるための条件は
D≧0かつ (-1)+(B-1)>0 かつ (α-1) (8−1) > 0
D≧0から
(p+1)(p-2) 20
よって
p≦-1, 2≦p... ①
(a-1)+(B-1) > 0 すなわち α+β-2>0から2ヵ-2>0
よって
p>1.
(α-1)(B-1) > 0 すなわち αβ-(α+β) +1> 0 から
+2-2p+1>0
すなわち
ゆえに
よって
******
よって
<3.
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③の共通範囲をとって
2≦p<3
(2) α<β とすると, α <3 <Bであるための条件は
(a-3)(8-3)<0
aß-3(a+B) +9<0
p+2-3-2p+9<0
カ>
11
5
******
27
P.81 基本事項[2)
-1 123P
f(x)=x-2px+p+2の
グラフを利用する。
(1)=(p+1)(p-2) 20,
3-p
0
***
軸についてx=p> 1,
ƒ(1)=3-p>0
から 2<3
yal
d
11
f(x)
(2) f(3)=11-5p < 0 から
D>
題意から,u=Bはありえ
ない。
83
2章
9
解と係数の関係 解の存在範囲

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

えだまにーる

α<3より、α-3<0
3<βより、β-3>0
だから、そのふたつを掛け合わせた
(α-3)(β-3)は、(α-3)(β-3)<0
になりますよね？そういうことです。

ぴひょ

本当だ！分かりました。ありがとうございます。