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基本例題 81 無理方程式・不等式 (2) 080000
野式野県
次の方程式、不等式を解け。
(1) √10-x2=x+2
(2)) √x+2≤x
CHART OLUTION
解答
(1) 方程式の両辺を2乗して
整理するとx2+2x-3=0
よって x=1, -3
グラフを書かないで
pocot MOITUIO
グラフを用いない無理方程式・不等式の解法
2乗して をはずす √A≧0, A≧0 に注意･･･
方程式の場合 (1) A=B ⇒ A'=B'は成り立つが、逆は成り立たない。
√をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。
不等式の場合 (2),(3) A≧0,B≧0ならばA>B⇔A'> B2 が成り立つ。
両辺を2乗する前に条件を確認する。 必要に応じて場合分け。
......
(3)√2x+6>x+1
10-x2=(x+2)
ゆえに (x-1)(x+3)=0
与えられた方程式を満たさないから x=1
x≥-2
(2)x+2≧0であるから
①
7 また、x=√x+2≧0 から x≥0 ... (2)
このとき, 不等式の両辺はともに0以上であるから、両辺を
x+2≦x2
ゆえに (x+1)(x-2)≧0
① 2乗して
よって
x≦-1,2≦x
(3)
求める解は, ①, ②, ③ の共通範囲であるから
x≧2
(3) 2x+6≧0であるから x≧-3
①
[1] x+1≧0 すなわち x≧-1
② のとき
不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して
2x+6>(x+1)^
整理すると
x2<5
......
-1≤x<√5
これを解いて-√5x<√5
①,②, ③ の共通範囲を求めて
[2] x +1 <0 すなわち x<1のとき
√2x+6≧0,x+1<0 であるから,不等式は常に成り立つ。
このとき, ① との共通範囲は
-3≦x<-1
(5)
求める解は (4) ⑤を合わせた範囲であるから
(4)
1基本 80
12x2+4x-60
1
x=-3 を代入すると
(左辺)=1,(右辺)=-11
-2-1 0
3+x\=4
-3-√5-1
2
◆ [1] または [2] を満
x
12
x
G
命題
る。
乗し
同
√x＋2は必ず正の平方根になるから √X＋2≧0は理解できるんですが，そこからなぜx≧0と言えるんですか？
もちろんx＝0の時も成り立ちますが，x≧−2の時が最小であってそれはもう①で示されているから②は成り立たないみたいな感じでいま考えてます