Question

朝ごパン

三角関数の合成の応用の問題です
解答にあるsinα=12/13,cosα=5/13となる理由が分かりません。
教えてください

して合成
-2 sil 20+
√3 sin 20+ co
される。
1文字を消去、実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで、 条件式
ty-lは、原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。
一点(x,y)は単位円上にあるから、Cos, y=sin とおける(検討参照)。
これを3x+2xy+y* に代入すると、 sin, cos 0 の2次の同次式となる。よって、後は
前ページの基本例 158と同様に、20にして合成の方針で進める。
1
y=1であるから、
ことができる。
pa3x²+2xy+y2 とすると
ゆえに
P=3cos20+2cososin0+ sin²0
1+cos 20
2
=3.
002のとき,
1-cos 20
2
=sin20+cos 20+2=√2 sin(20+ 7 ) +2
20+4x+△であるから
x=cos 0, yasino (0502m) とおく
π
+sin 20+
3x+2xy+yの最大値 最小値
-15sin (20+4)=1
-√2 +25√2 sin(20+)+25√2 +2
よって, Pの最大値は2+√2, 最小値は 2-√2である。
Pが最大となるのは, sin (20+-
F6317³9Th
π
すなわち =
158
y=rsin0
これを円の媒介変数表示という(数学Ⅲの内容 ) 。
条件式が+パードの形
のときの最大最小問題で
は、左のようにおくと、比
較的らくに解答できること
もあるので、試してみると
三角関数の合成。
検討円の媒介変数表示
一般に,原点を中心とする半径rの円x2+y²=r2 上の点を P(x,y) と
し、動径 OP の表す角を0とすると
JOT005
x=rcos0,
STIENIORS
8
πである。 これから, 半角の公式と0+の公式を用いて, 最大値を
与えるx,yの値が求められる(下の練習 159 参照)。
249
a
5
12/2
nia Orsine r
[Alono 2013 ain Ja
(0+0)nier=0 2000+07
C p
π
J
27
三角関数の合成
P(x,y)
0
rx
rcoso
60
0=1 +0nie E \ +0 800
平面上の点P(x,y) が単位円周上を動くとき, 15x² +10xy-9y² の最大値と,最
159 大値を与える点Pの座標を求めよ。
Bashroomy [学習院大 ]
p.254 EX103

練習 平面上の点P(x, y) が単位円周上を動くとき, 15x210xy-9y² の最大と
④ 159 点Pの座標を求めよ。
点P(x,y) が単位円周上を動くとき
x=cos0, y=sin0 (0≦0<2π)
とおくことができる。
Q=15x²+10xy-9y2 とすると
Q=15cos20+10cos Osin0-9sin²0
1+cos 20
+5sin 20-9..
2
=12cos20+5sin 20+3
= 13 sin(20+a)+3
12
5
13 (0<a<//)とする。
13'
2
Qが最大となるのは, sin (20+α)=1のときで, その最大値は
13・1+3=16
また,0≦0<2πよりa≦20+α<4x+αであるから,
T
sin(20+α)=1のとき
20+α=
または 20+α=
2
=15・
ただし, sinα=
COS α =
π
20=
=のとき
[1] 20+α=2
π
1-2-0
0<a</であるから 0<20</2
2
したがって, cos 0 0 であるから
1-cos 20
2
ゆえに
D21: cos 20= cos(-a)-sina-13
2
1 20
2>T_ cos²6=¹+ con 28 -1 (1-13) – ²
1/
12
25
よって
COS20=
-
2
2
26
また, sin0>0であるから
また 0=
12
π
4
COS A=
25
sino-√/1-3-7/16
= 1.
26
5
27
26
a
2
50
られないと
0 <2017 すなわち0<<↑
5
√268+05 ie 0<-
13
うに表す。
の値は得られ
cos, sing
ることはでき
←α=
よって

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

志摩🌈

やり方はわたしのノートにもあります☆

朝ごパン

とても分かりやすい図と解説ありがとうございます！
理解することができました