Question

ゆうか

-3k/5ってどっから出てきたんですか？

ユニット
3
速効
アプローチ
数学ⅡI
軌跡
会話形式の問題は、 登場人物の思考の流れに沿って考える
① 問われていることを確認する
② 登場人物の思考の流れに沿って考える
step1 例題で 速効をつかむ
アプローチ
図形と方程
例題
太郎さんと花子さんは,軌跡に関する問題について話している。二人の会話を読んで、
下の問いに答えよ｡
問題kは定数とする。円x+y=10と直線y=3x+kが異なる2点A,Bで交わるように,
ん の値が変化するとき, 線分ABの中点Pの軌跡を求めよ。
花子:「軌跡」を求めるときには、求める軌跡上の点Pの座標を(X, Y) とおけばいいのよね?
解いてみるから、 ちょっと待ってね。
アイ
-Xだから, 点Pの軌跡は直線!
ウ
えっと, Y=
[アイ]
直線y=
太郎 : いいところまでできたけど、まだ正解ではないよ。 図にかいてみると,
アイ
ウ
・IC 上の点だけど, 線分ABの中点にはならない部分があるよ。
太郎: 中点Pの軌跡は,直線y=
no x
アイ
ウ
の
-xC
花子: 本当だ!
どうして?
太郎: それはね 「円x2+y2=10と直線y=3x+kが異なる2点 A, B で交わる」という条件を
使っていないからだよ。
花子:なるほど。 すると､xの値の範囲が求められて
アイ
ウ
I オに当てはまる数値を答えよ。
エ<x<オになるわ。
エ <x<オの部分というわけだ。
トでは,
を身につ

を身につけよう。
x^2+(3x+t)^2=100
x² + 9x²+6kx + b ² = 10
1 問われていることを確認する
10x+6%x+10=0
円と直線の2つの交点を結んだ線分の中点Pの軌跡を求める問題だ。花子さんの考
え方に従って,点Pの座標を(X,Y) とおいて, 式変形し, 定義域まで求めよう。
② 登場人物の思考の流れに沿って考える
花子さんの考え方に従って,直線の方程式を
導くと, 太郎さんから問題文の条件を満たさな
い部分があるという指摘を受ける。 実際, 図
をかいてみると, 条件に合わない部分があるこ
とがわかる。ここでは, 「円x²+y2=10と直線
y=3x+kが異なる2点A,Bで交わる」 とい
う条件から,「円の方程式と直線の方程式から
(もしくはx) を消去して得られる2次方程式
が異なる2つの実数解をもつ」と考えよう。
アイ
オに当てはまる数値は
アイ
ウ
2次方程式 ① の判別式をDとすると 4
イメージ
2
P?
これに②を代入して, -10<- 3
よって、求める中点Pの軌跡は,
直線y=- xの3<x<3の部分である。
-10
数学- 11
・解き進める刀
YA
10
O
I =(
A
B-10
y=
下の解説を見て, 答え合わせをしよう。
点Pの座標を(X,Y), 点A,Bのx座標をそれぞれ 1, π2 (x1キx2) とすると,X=
y=3x+kをx2+y²=10に代入すると, x2+(3x+k)=10
よって, 10x2 +6kx+k²-10=0 ...... 1
1と2は①の2つの解だから、 解と係数の関係より, x1+x2=-
3
10
よって, X=-- 10kより,k=-
=-1X
P(X,Y) は直線y=3x+k上にあるから, Y=3X+k
これに② を代入してY=3X-10 ×より、Y=-123×アイ、ウの(答)
・k
√10
アイ
ウ
D = (3k)² - 10(k² - 10) = -k² +100
オ=(
)
=-(x+10)(k-10)
円と直線が異なる2点で交わるための条件はD>0であるから, -10<k<10
x1+x2
2
10x
-X<10より, -3<X<3 ･･････ エオの (答)
数学
DO
1
2
3
step1 はここまで!
速効を使って問題を解いてみよう!
アプローチミ
8
9
10