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解答
00000
基本例題100 円周上の点における接線
p.153, p.154 基本事項
円(x-1)'+(y-2)=25上の点P(4,6) における接線の方程式を求めよ。
指針 接線の方程式を求める方法として、以下の4通りの方法がある。 1の解法が最も簡潔
であるが, いろいろな解法を身につけておこう。
① 公式利用
点Pは円周上の点であるから,接線の公式を用いて直ちに求められる。
円(x-a)^2+(y-b)^=r² 上の点 (x1,y) における接線の方程式は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=r²
② 接線半径
円の中心をCとすると,点Pにおける接線は半径 CP に垂直である。
したがって,点Pを通り, 直線CP に垂直な直線を求めればよい。
③ 中心と接線の距離=半径
点Pを通る直線の方程式を作り、これと円の中心Cの距離が半径に等しければ接線
になる。点と直線の距離の公式を用いて, 直線の方程式を決定すればよい。
4 接点
重解
点Pを通る直線の方程式を作り,円の方程式と連立させて得られる2次方程式が重
解をもつとき、 接線になる。 その際, 重解⇔ 判別式D=0を用いる。
① (4-1)(x-1)+(6−2)(y-2)=25
よって
3x+4y=36
② 円の中心を C (1, 2) とする。
求める接線は,点Pを通り,
半径 CP に垂直な直線である。
直線CP の傾きは
であるか
ら求める接線の方程式は
y-6=(x-4)
ゆえに
両辺を2乗して
|m・1-2-4m+6]
_P (4,6)
5
C(1,2)
すなわち mx-y-4m+6=0
とされる。
円の中心 (1, 2) 直線 ① の距離が円の半径5に等しい
から
√√m² + (−1)² =5
x
すなわち3x+4y=36
③点Pにおける接線はx軸に垂直でないから、傾きを ③ 中心と接線の距離=半径
m とすると,接線の方程式は
y-6=m(x-4)
|-3m+4|=5√m²+1
(-3m+4)²=25(m²+1)
1 公式利用
② 接線 半径
この解法は,円の接線の
公式を導くときに利用さ
れるものである(p.154
解説参照)。
垂直傾きの積が-1
x軸に垂直な直線は
y=mx+n の形で表せ
ないから,
の確認を
している。
点(x,y)と直線
ax+by+c=0 の距離は
lax+by+cl
√a²+b²
検討
よ
12
② 100
