282 第6章 場合の数
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平面上に10本の直線があり、 どの3本の直線も1点で交わることはない. この10本の直
線のうち、3本だけが平行である.
(1) 直線の交点の数を求めよ.
(2) 直線によってできる三角形の個数を求めよ.
(1) 10本の直線から2本の直線を選ぶ選び方は, 10C2 通り
このうち, 選んだ2本の直線が交わらないのは,平行
<3C2通り
な3本の直線から2本の直線を選んだ場合だけである.
どの3本の直線も1点で交わることはないので,求め交わる2本の直線の交点は十
る交点の数は,
べて異なる.
(UM) 2008
10C2-3C2=45-3=42 (個)
(2) 10本の直線から3本の直線を選ぶ選び方は,10C3 通り
どの3本の直線も1点で交わることはないので, 3本
の直線を選んだときに三角形ができないのは,平行な3
本の直線から2本と残りの7本の直線から1本選んだ場
合と,平行な3本の直線を選んだ場合である.
よって 求める三角形の個数は,
10C3-3C2×7C1-3C3=120-3×7-1=98(個)
3本の直線で三角形ができな
いのは、3本の直線が1点で
交わる場合と, 2本または3
本の直線が平行な場合である。
A SI
