Question

のん

授業中にやった例題なのですが、ピンクの付箋部分がどういう流れでこうなったのか全く思い出せません。わかる方いますか？

5
C 数学的帰納法による不等式の証明
応用
例題
7
は3以上の自然数とする。 不等式2" > 2n+1 を 数学的帰納
法によって証明せよ。
解説n3であるから、 次のことを示せばよい。
[1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。
[2] k≧3として,n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると,
n=k+1のときにも不等式が成り立つ。
第1章
数列

57. 123. 2n > 2n+1
[Ⅰ] n=3のとき.
①を証明する。
(左)・2=8.(右)=2.3+1=7となり①は成立。
2ktly 2(k+1)+1
(1) n=kact.
125>2kt1.②が成立すると仮定
n=k+1のとき、②より、
2k+¹ = 2√2³² > 262ktl2 = 4k+2 = (2k+3)(2k-1)
ここでK23より、2K=6
(2K-1)≧50
したがって、2k>(2k+3)(2K-1)2k+3
h=ket1のときも①は成立。
[I][Ⅱ]より、3以上の全ての自然数について①は成立。
となり、

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

ピンクの所は、正しくは
(2k＋3)+(2k-1)
でしょう

最終的には
2^(k+1)＞2(k+1)+1＝2k+3
を証明したいので、
2(2k+1)＝(2k+3)+(2k-1)として、ピンクの部分が2k+3より大きいことを示したかったのです。

のん

なぜ2k-1を使うのですか？

きらうる

2k-1を使うわけではなく、4k+2から2k+3をつくったら残りは2k-1になったってだけです。

のん

なるほど！理解できました！最後までありがとうございます😭