Question

Leo

誰可以幫我證明已知OA向量（a,b,c)且OP向量(x,y,z)，若OA內積OP=K則所有P點都會在平面aX+bY+cZ=K上，這個上課沒有教但是有看到別人用過一個看不懂QQ

內積，空間向量，平面方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

FuTony

簡單來說
內積基本運算
OA·OP=(a,b,c)·(x,y,z)=ax+by+cz=k
ax+by+cz=k可以把它看成是一個平面方程式

因此所有P點都會在平面ax+by+cz=K上
（把任一p(x,y,z)皆滿足ax+by+cz=K）

為了證明滿足內積條件 OA · OP = K 的所有點 P 都位於平面 aX + bY + cZ = K 上，我們需要證明滿足給定條件的任意點 P 的坐標也滿足方程式。

我們首先考慮向量 OA = (a, b, c) 和 OP = (x, y, z)。兩個向量的內積定義為其相應分量的乘積之和。因此，我們有：

OA·OP=ax+by+cz=K

現在，我們考慮坐標為 (X, Y, Z) 的任意點 P。為了證明P位於平面aX + bY + cZ = K上，我們需要證明將P的坐標代入方程滿足方程。

將X、Y、Z代入平面方程，可得：

aX + bY + cZ = K

現在，讓我們考慮 OA 和 OP 在 P 點的內積：

OA·OP=ax+by+cz

將其與我們之前推導出的方程進行比較，我們有：

OA·OP = aX + bY + cZ

由於我們知道 OA·OP = K，我們可以將其代入上面的等式中：

K = aX + bY + cZ

該方程與平面 aX + bY + cZ = K 的方程相同。

因此，如果 OA 和 OP 的內積等於 K，則任意滿足該條件的坐標（X，Y，Z）的點 P 也將滿足平面 aX + bY + cZ = K 的方程。

因此，我們已經證明，如果 OA 內積 OP 等於 K，則滿足該條件的所有點 P 都將位於平面 aX + bY + cZ = K 上。