(1)
n群の最初の奇数は、1,3,7,15,31…となっています。
これらは、+2,+4,+8,+16と足されているので、
この数列をb[n]とします。
b[n]＝2,4,8,16… この数列は、初項2、公比2の等比数列に
なっていることがわかりますので、一般項は
b[n]＝2・2ⁿ⁻¹
と表すことができます。
そして、n群の最初の奇数は、階差数列になっているので、
n群の最初の奇数の数列をa[n]とすると、階差数列の公式から
n≧2のとき
a[n]＝a₁+Σ[k＝1～n-1]b[k]
＝1+Σ[k＝1～n-1]2・2^(k-1)
＝1+2(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)
＝1+2ⁿ-2
＝2ⁿ-1
n＝1のとき、a[1]＝2-1＝1より、
n群の最初の奇数は、2ⁿ-1
(2)
n群の最初の数は、(1)から2ⁿ-1、
n群の最後の数は、n+1群の最初の数から2を引いた数なので、
2ⁿ⁺¹-1-2＝2ⁿ⁺¹-3
n群に含まれる項数は、1個,2個,4個,8個…から、2ⁿ⁻¹個とわかるので、
和の公式から、
和＝2ⁿ⁻¹{(2ⁿ-1)+(2ⁿ⁺¹-3)}/2
＝2ⁿ⁻²(2ⁿ⁺¹+2ⁿ-4)
＝(2ⁿ⁻²×2ⁿ⁺¹)+(2ⁿ⁻²×2ⁿ)-(2²×2ⁿ⁻²)
＝2²ⁿ⁻¹+2²ⁿ⁻²-2ⁿ
取り合えず、ここまでわかりますでしょうか。
2²ⁿ⁻¹+2²ⁿ⁻²-2ⁿ
この式をもっとまとめます。
2²ⁿ⁻²⁺¹+2²ⁿ⁻²-2ⁿ
＝2・2²ⁿ⁻²+2²ⁿ⁻²-2ⁿ
＝(2+1)・2²ⁿ⁻²-2ⁿ
2²ⁿ⁻²の部分は、2^2(n-1)＝4^(n-1)と変形して
＝3・4ⁿ⁻¹-2ⁿ
となり、答えと合います。
ありがとうございます！
今(2)まで自力で解いてみたのですが式はあっているのですかどうしても(2)の答えが合わなくて教えて欲しいです。