10
15
20
応用 次の和Sを求めよ｡
例題
3
S=1・1+2・2+3・2"+..+n・2"-1
考え方 第k項がん・ 2 で表される数列の和である。 Sと2S の差を計算する。
解答
練3
練習
S=1・1+2・2+3・22+4・2+ .....+n.2”-1
両辺に2を掛けると
2S=
辺々引くと
よって
S-2S=1+2+2+2 +•••••+2"--n・2"
したがって
36
25
1・2+2・2²+3.2°+......+(n-1)・2"'+n・2"
-S=
2"-1
2-1
-n・2n
補足 応用例題3のS-2Sの計算を上の(A) のように書くと,次のようになる
S=1・1+2・2+3・2' + ･････・ +
no2n-1
-) 2S=
1･2+2・2²+････+(n-1) ・2"'+n2"
-S= 1 + 2 + 22+ ......+
2n-1-n2"
Sは,等差数列{n}, 等比数列{-1} の各項どうしの積をとって得られる
数列{n･2"-1} の和である。このような, (等差数列)×(等比数列) の形を
した数列の和を求める場合には、上のような計算が利用できる。
次の和Sを求めよ。
(2-1)2=2
(32)22=22
など
S=-(2'-1)+n2"=(n-1)・2"+1
S=1・1+2・3+3・32+......+n・37-1
