Question

tan_ⅰ

数Aの問題です
例題234(1)(イ)より
kは1からnのn個の値をとるのに、カードの抜き出し方の総数がn-1C1×3C2で求められるのはなぜですか？
解説お願いします

思考プロセス
『列題 234nやkなどを含む確率
1が書かれたカードが1枚, 2が書かれたカードが1枚, …..,nが書かれ
たカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。 この組から1枚 |
を抜き出しもとに戻す操作を3回行う。 抜き出したカードに書かれた数を
a,b,c とするとき, 得点を次の規則 (i), (ii) にしたがって定める。
(i)a,b,cがすべて異なるとき, 得点はa,b,cのうちの最大でも最小
でもない値とする。
(i)a,b,cのうちに重複しているものがあるとき, 得点はその重複し
た値とする｡
1≦k≦nを満たすんに対して, 得点がんとなる確率をp とする｡
(1)
で表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ。
具体的に考える 得点がんとなるのは?
2
k-1
規則(i)
規則(ii)
1 2
k
1枚
k
k k+1
k
k-1 k+1
1枚
9
1枚
n
んのとり得る値の範囲を考える
⇒□sksロ
n
Action» n やんを含む確率は, その文字のとり得る値の範囲も考えよ
(1) カードの抜き出し方は通t
(一橋大)
kksks
⇒ロsksロ
よって, このよ
n-1 C₁ X 3
(ウ) 規則 (ii) で3枚
んが書かれたカ
(k = 1, 2,
よって, このよ
通り
(ア)~ (ウ)より,k=
6(k
(21
Pk
=
- 6
pk
んは自然数である
nが奇数のとき
nが偶数のとき
Point...文字で表され
文字で表される確率

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思考プロセス
a, b, c
(i)a,b,cがすべて異なると
でもない値とする。
(ii) a,b,cのうちに重複しているものがあるとき, 得点はその重複し
た値とする。
1≦k≦nを満たすんに対して, 得点がんとなる確率をrとする
(1)
で表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ。
具体的に考える 得点がkとなるのは?
規則(i)
12
k-1
規則(ii)
1枚
1枚
k+1
k+1
1枚
n
1,2,..., n)
んのとり得る値の範囲を考える
→□sks
n
k k→
kk
Action»nやkを含む確率は、その文字のとり得る値の範囲も考えよ
(1) カードの抜き出し方は3通りあり, これらは同様に
確からしい。
得点がんとなるのは次の3つの場合がある。
(ア) 規則 (i) で得点がんとなるとき
んが書かれたカードを1枚,
1,2,..., k-1が書かれたカードを1枚,
k+1,+2,.., nが書かれたカードを1枚
抜き出す場合である。 (k = 2,3,..., n-1)
それぞれの値が, a,b,cのいずれかに対応するから,
その場合の数は3通りずつある。
よって, このようなカードの抜き出し方の総数は
k-1 Cink C1 ×3!=6(k-1)(n-k) (通り)
これは,k=1,nのときも成り立つ。
(イ)規則() で2枚が重なり得点がんとなるとき
kが書かれたカードを2枚,
k以外の数が書かれたカードを1枚
抜き出す場合である。
んが, a,b,cのいずれか2つに対応するから,その
場合の数は 32 通りずつある。
(一橋大)
口sksロ
⇒□skso
kが書かれたカードを必
くず抜き出す。
抜き出し方は - C, 通り。
抜き出し方はC, 通り。
k=1, n となることはな
k=1,n のときは0通り
となり, k = 1, n となる
ことはないから成り立つ
といえる。
抜き出し方は - 通り。
よって, このようなカードの抜き出し方の総数は
1通り
(ア)~ (ウ)より,k= 1,2,..., n において
pk=
(2) (1
6(k-1)(n-k)+3(n-1)+1
n³
-6k²+6(n+1)k-3n-2
n³
Pr
6
n³ {k² −(n+1) k}
3n+2
n³
= -5/5 (k − 2 + 1)² + 3n² - 1
2
2n³
kは自然数であるから
が奇数のときが最大となるんはk=
nが偶数のとき px が最大となるkはk=
n+1
2
n n
2'2
+1
pr
な
Point...文字で表される確率
文字で表される確率の問題では, 文字に簡単な数を代入して答が正
よい。 例題 234 で考えてみよう。
n=3, k = 2 (1) の答に代入すると
27
-6 2² +6(3+1)-2-3-3-2 13
D₂ =
3³
一方, 1,2,3が1つずつ書かれた3枚のカードがあるとき, 得
き出すカードの組合せが (1,2,3),(1,2,2),(2,2,2),(2,
る。 a, b, c の対応を考えると, その確率は
よって,値が一致していることが確かめられる。
このように、 具体的な値で試してみることで, 計算ミスを減らす
3! +3 + 1 +3
33
練習 234nを3以上の自然数とする｡ 1からnまでの数が1つ
ドがある。これらn枚のカードから同時に3枚のカー
いる3つの数を小さい方から順に並べかえ, X<Y<2
を満たす自然数として,次の間に答えよ。
(1) Z = k となる確率 P(Z=k) , n, kを用い
(2) Y = k となる確率 P(Y=k) , n, kを用い
(3) Y = k となる確率 P(Y=k) が最大となるk

かれ
1枚
を
小
よって,このようなカードの抜き出し方の総数は
n-1 C1×3C2=3(n-1) (通り)
(ウ)規則 (ii) 3枚が重なり得点がんとなるとき
んが書かれたカードを3枚抜き出す場合である。
(k = 1,2,
... n)
よって,このようなカードの抜き出し方の総数は
1通り
(ア)~ (ウ)より, k = 1,2,‥‥.,
Pk
(2)(1)より
nにおいて
6(k-1)(n-k) +3(n-1)+1
n³
-6k²+6(n+1)k-3n-2
3
PR
んは自然数であるから
nが奇数のとき
6
-{k² −(n+1)k}· 3n+2
3
n°
n³
2
n+1
(k-1 + 1)² + 3n²-1
2
2n³
6
.3
n
n°
が最大となるkはh=
n+1
2
nが偶数のときが最大となるんはk= n n
+1
2'2
a=b=c=kである。
2次関数と見
す。
「図で考える
nが奇数
n+1 k
2
nが偶数
n
2
+2
n+1
k
+1
Point...文字で表される確率
文字で表される確率の問題では, 文字に簡単な数を代入して答が正しいかを確認すると
よい。 例題 234 で考えてみよう。
n = 3, k = 2 を (1) の答に代入すると
特講
章
7 いろいろな確
17

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

kが1からnまでの値を取ることは正しいです。その中から一つ何かしらの値を取るときの確率を考えているので，(1)イの場合であれば残り1枚がk以外の値を取ること(n-1C1)，どの2枚がkと書かれたカードになるか(3C2)を考えればいいのです。

tan_ⅰ

どの2枚がkになるかと考えるのではなく、abcのうちどれがk以外の値になるかと考えて、n-1C1×3C1と考えるのもありでしょうか。答え的には同じになるはずですが

sin theta

それでも問題ないです。同じことを言い換えているので

tan_ⅰ

わかりました、ありがとうございます！