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重要 例題 41 2次方程式の解の条件と確率
3 4 5 6 7 8 から3つの異なる数を取り出し, 取り出した順に a, b, c とす
基本36
る。このとき.α. b,c を係数とする2次方程式 ax+bx+c=0 が実数解をもつ
確率を求めよ。
この問題では、数学で学ぶ以下のことを利用する。
2次方程式 ax+bx+c=0 の実数解の個数と判別式D=b-4ac の符号の関係
D>0 のとき、 異なる2つの実数解をもつ
D≧0 のとき,
実数解をもつ
D=0 のとき、ただ1つの実数解 (重解)をもつ
D<0 のとき, 実数解をもたない
ゆえに,D=62-4ac≧0 を満たす組 (a,b,c) が何通りあるか, ということがカギと
なる。この場合の数を「a,b,cは3以上8以下の整数｣, ｢a=bかつbcかつca」
という条件を活かして､ もれなく 重複なく数え上げる。
P3=6・5・4=120 (通り)
できる2次方程式の総数は
解答 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,実数
解をもつための条件は
D≧0
D=62-4ac であるから
b2-4ac≧0...... ①
3≦a≦8, 3≦b≦8, 3≦c≦8であり、a≠cであるから
① より
62≥4ac≥4.3.4
ゆえに
6248
6=7のとき, ① から
よって
したがって 求める確率は
ac≦
b=7,8
49
4
}
-=12.25
(*)
724ac すなわち
この不等式を満たす α, c の組は
(a, c)=(3, 4), (4, 3)
b=8のとき, ① から
824ac すなわち ac≦16
この不等式を満たす α, c の組は
(a, c)=(3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)
2+4 1
120 20
組 (a,b,c) の総数。
指針」
の方針｡
ac のとりうる最小の値
に注目する。
<7²=49>48 であるから
b=7.8
3以上8以下の異なる2
数の積は, 小さい順に
3・4=12,3･5=15,
3.6=18>16
以後も16より大きい。
よって,α,cの組を絞る
ことができる。
整数の問題は、不等式で値を絞る
検討
上の例題では, D=62-4ac≧0 を満たす整数の組(α, b, c) を調べるために, ac≧3.4 と
いう条件を利用し, まず6の値を絞った [解答の (*) の部分] 。
このように、 場合の数を求めるのに、 不等式を処理する必要がある場合、 文字が整数のとき
はその性質を利用するとよい。 特に, さいころの目 α によって係数が決まるときは,
「αは1以上 6以下の整数」 であることに注意する。
練習 さいころを3回投げて、出た目の数を順にa,b,c とするとき,xの2次方程式
③41abx²-12x+c=0が重解をもつ確率を求めよ。
[広島文教女子大] p.410 EX33\
参考事】
※これまで
同様に確
しかし、
多い。 そ
右の表
統計であ
合は,一
いことが
一般に
とき,事
(相対度
される
う。
さう
例え
的確率
例
U
aとcはどうして最も小さい数が入るのですか？