Question

桐ヶ谷くん

なぜgは90と75の最大公約数になるのかがよくわからないので、教えて欲しいです。

例題 235 最大公約数, 最小公倍数からの2数の決定
次の条件を満たすような, 2つの自然数の組をすべて求めよ。
(1) 最大公約数が 6, 最小公倍数が300
(2)
積が 864, 最小公倍数が 144
(3) 和が75, 最小公倍数が90

31
(3) 2つの自然数をα, b (a ≦b), 最大公約数をgとする
とa=dg, b=b'g(α' と'は互いに素)
とおける。このとき, a≦b より
2数の最小公倍数が 90 であるから
また, 2数の和が75 であるから
よって
(a' +6′)g = 75
4
dとは互いに素であるから, d'+6' と d'b' も互いに
素である。
よっては90と75の最大公約数である。
90 = 2・32･5,75=3.52 であるから
g = 3.5=15
③ ④ に代入すると
d'b'
90= d'b'g... ③
a+b=75
d'b'′ = 6 ... 5⑤, d'′ + 6′ = 5 …. ⑥
d' と'は互いに素であるから, ⑤ より
(a', b') = (1, 6), (2, 3)
(a', b') = (2, 3)
このうち, ⑥ を満たすのは
ゆえに
(a,b) = (30,45)
したがって 求める2つの自然数の組は
DIE
30 4500
き
を
例
これ
より
数で
g=
とし
につ
もで

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆう

具体的に考えます。
a=12,b=21
a,bを素因数分解してみると、
a=2²×3
b=3×7
ここからわかるように、最大公約数g=3です。
今回はa'=2²,b'=7です。また、a',b'は互いに素です。

回答の文が変なのはご容赦ください。

桐ヶ谷くん

わかりました。
ありがとうございました。