Question

ℎ

青チャートII Bの不等式の表す領域の単元の質問です。黄色線のようにx,yは実数と問題文に書いてあるのに何故x,yが実数として保証されるようなX,Yの条件を求めなくてはいけないんですか？私は四角1の条件だけで十分だと思うのですが。

00000
重要 例題125点 (x+y, xy) の動く領域
実数x, y が x2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の動く領域
図示せよ。
指針 x+y=X, xy=Yとおいて, X, Y の関係式を導けばよい。
条件式 x2+y≦1 を X,Y で表す。
DevZXS
→ x2+y2=(x+y)²-2xy を使うと
しかし, これだけでは誤り!
変数のおき換え 範囲に注意
[②2] x,yが実数として保証されるような X,Yの条件を求める。20
解答
-
AMOU
X²-2Y≤1
x,yは2次方程式t2-(x+y) t+xy = 0 すなわち t2 - Xt+Y=0の2つの解です。
るから,その実数条件として 判別式 D=X2-4Y ≧05

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

トムくま

X,Yという新しい変数に変わっているからです。
実数x,yの存在が全てのX,Yで保証されるわけではないんです。

例えばX=0, Y=10について考えてみます。
足して0なのでxとyは符号が逆の2数(-5と5など)の組み合わせと分かりますが、このときこれを満たす2数をかけて10になることはあるでしょうか？正の数と負の数を掛けているので負になるはずです。ありえないんです。
つまり、X=0, Y=10のときx,yは実数ではなくなってしまうわけです。

こんな点を除くために②の条件が用意されています。

ℎ

こんなに丁寧にありがとうございます🥲💗では、もし(x＋y,x -y)の動く領域だったら写真の四角2のような条件は必要ですか？練習問題でその領域を求める時は四角2のような条件は要らなかったのでその違いは何かなと思いまして、、

トムくま

その場合は必要ありません。（以下、X=x+y, Y=x-yとします。）
ただ、本当に全てのX, Yでx, yが実数になるかの確認は必ずするようにしてください。

この場合はx, yについて解くと
x=(X+Y)/2, y=(X-Y)/2
であり、X, Yがどんな数でもx, yが実数になりそうだと分かると思います。

ℎ

めちゃくちゃ分かりやすいです😭こんなに丁寧にありがとうございました💞