Question

ふぃり

数学得意な方お願いします。

3-5/2+5/2-7/3+7/3-9/4+…
次の無限級数の収束、発散を調べ、収束する時はその和を求めよ。

別解が分からないです。0はどこから来たんでしょうか…？どうぞ宜しくお願いします。

(2) 第n項までの部分和をSとすると S2n-1=3
2(n+1)+1=3-
S2n=S2n-1
n+1
また
よって
ゆえに
lim S2"_1=3,
1118
lim S2n-1 ≠ lim S2n
1118
1110
2n+3
n+1
lim S2"=lim(3-
n→∞
11-00
2n +3
n+ 1² ) =
(114) よって, 無限級数は発散する。
別解 第n項をam とすると
azn =
lima2=-20であるから、発散する。
1118
XS+E+
2(n+1)+1
n+1
=3−2=1
2n+3
n+1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たまご

まずこの問題は数列の和の極限を考えているため
数列{an}というのが0に収束しない限り、この和が収束することは無いのです。

例えば 数列{an}が an＝(n+1)/nというのは
n→∞のとき 1に収束しますが
この和 Snがn→∞で収束することは無いですよね？
なぜならn→∞のところではan≒1なので、これを足し続ける訳ですからどうやっても収束することは無いわけです
すなわち、n→∞のときan≒0でないとSnが収束することは無いわけですね

で、a2nという項は n→∞で a2n≒-2ですから 収束しない

と言いたいんでしょうが、正直これは正しいのかな？といったところです。
この解法は見たことなく、基本の解法(別解じゃない方)しか見たことがないのでなんとも言えませんが
偶数項しか考えられてないのはどうなのかな？と思います。
ですから別解より基本解法を理解する方がいいと思います。

このanが0に収束するならSnが収束するというのは
偶数奇数考えない数列ならば成り立つとは思いますが...

ふぃり

返答ありがとうございます！！😭
モヤモヤしていましたが二段目を読んで非常に納得しました。
今後似た問題でもいつも通り基本の解法でやります！