Question

HAL

xとθの対応関係について、
x=a(θーsinθ)
にx=0、x=2πaを代入したときのθの求め方を教えて下さい。よろしくお願いします。

NE
02 において, サイクロイド
x = a(0-sin0)
y = a (1 - cos 0)
とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 ただし, a>0とする。
求める面積は、 右の図の斜線部分の面
積である。 yはxの関数であるから,
この面積をSとすれば
2πa
S = fod y dx
0
■2π
dx
do
3節 面積・体積・長さ 235
=
= a(1- cos 0)
であるから
xと0の対応は右の表のようになる。
ゆえに、求める面積Sは
サイクロイドの囲む図形の面積
である。置換積分法によって, 変数xを0に置き換える。
x = α(0-sin0 )
YA
2a
πa
0
2max
0-2а
0→2π

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

特別な公式などはありません。
強いて言えば、y=sinθとy=θの交点、y=sinθとy=θ-2πの交点を求めてます。

きらうる

グラフにしてみました。
交点は2点ありますが、0と2π以外は関数電卓や三角比の表がないと求められません。

HAL

グラフをかいたら解決しました。
交点は1点になりませんか？
f(θ):=θ−sin(θ)
f'(θ)=1−cos(θ) ≧0
y=f(θ)は単調増加なので、このグラフとx軸に平行な直線は1点で交わる。
y=f(θ)とy=0の交点は(0, 0)
y=f(θ)とy=2πの交点は(2π, 2π)
となりました。

きらうる

すみません。微分すればt=θとt=sinθは、t=0で接しますね。
適当な図を書いちゃダメですね。すみませんでした。