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高中
右側のまるのところが分かりません。なぜ余りを割った時余りに等しくなるんですか?
8 多項式Pを(x+1)^ で割った余りは9であり, (x-1)^33
✓で割った余りは1である。 Pを(x+1)^(x-1)2で割っ
た余りを求めよ。
B
求める余りをRとする
と, R を(x+1)2で割っ
た余りは9, (x-1)2 で
割った余りは 1である。
品 式と証明
Jet
8
問題の考え方■
多項式Pを(x+1)(x-1)²で割った商をQ,
余りをRとして等式をつくる。 このRに関し
て与えられた条件を利用できないか考える。
多項式Pを(x+1)(x-1)2で割った商を Q, 余
りをRとすると,次の等式が成り立つ。
P=(x+1)(x-1)2Q + R
FASA
[Rは3次以下の多項式 または 0]
NO
Pを(x+1), (x-1)2で割った余りは, R をそれ
ぞれ(x+1)2, (x-1)2で割った余りに等しい。
R を(x+1)(x-1²で割った商は1次以下の多
項式であるから
R=(x+1)(ax+b) +9,
かつR=(x-1)' (ax+c) +1
と表される。リー
よって
48
(x+1)(ax+b)+9=(x-1)(ax+c) +1
これがxについての恒等式である。
両辺を展開して整理すると
ax3+ (2a+b)x2+(a +26)x + b + 9
=ax³ + (-2a+c)x²+(a-2c)x+c+1
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
2a+b=-2a+c, a+2b=a-2c,
b+9=c+1
これを解いて
したがって 求める余りは
a=2,b=-4,c=4
R=(x+1)²(2x-4)+9=2x³-6x+5
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解答
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