Question

りん

この問題の線を引いた所が分かりません、、
なぜ3なのでしょうか？

490
重要 例題120 素数の問題(余りによる整数の分類の利用)
0000
nは自然数とする。 n, n +2, n +4 がすべて素数であるのはn=3の場合だけで
あることを示せ。
〔早稲田大, 東京女子大]
指針▷ nが素数でない場合は条件を満たさない。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n +2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい, ということがわかる。
よって, n=2,3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ,nが5以上の素数のときは,
In, n+2, n+4の中にnが含まれている。
n 2 3:5 7 11 13
13 15
n+2
n+4 67
(11 15 17
○:素数,
:3の倍数
n=3k+1, 3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない、すなわちn+2, n+4のどちらかが
素数にならないことを示すという方針で進める。
CHART 整数の問題 いくつかの値で小手調べ(実験)
解答
nが素数でない場合は,明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4 となり,条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で、条件を満たす。
[3]nが5以上の素数のとき, n は 3k+1, 3k+2(k は自然
数) のいずれかで表され
どて
(i) n=3k+1のとき
n+2=3k+3=3(k+1)
k+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数にならず
条件を満たさない。
(ii) n=3k+2のとき
n+4=3k+6=3(k+2)
k+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数にならず.
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
基本117
15 (7)
規則性の発見
3数のうち, nが素数でな
<n+4(=6) も素数でない。
<n=3k(n≧5) は素数にな
らないがら,この場合は考
えない｡
の断りは重要。 k+1=1
とすると, n+2=3 (素数)
となるため、このように書
いている [(ii) でも同様]。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

本来は2k、2k+1でやってみて、無理なら3k、3k+1、3k+2でやってみる。無理なら4k、4k+1…という感じでやります。

ただ、素数の判定は3k、3k+1、3k+2でやることが比較的多いです。

どれでやるか分からなければ2から順番にやってください。

りん

なるほど、ありがとうございます！
無理ならってどんな状態になることでしょうか？

あ

こういった素数判定の問題の場合、ある一定値以上からは全て同じ数の倍数となります。それができない場合は、無理ということです。

今回の場合は
①2k、2k+1でやってみる。
②2kを代入した値は2k、2k+2=2(k+1)、2k+4=2(k+2)で全て2の倍数。
③2k+1を代入した値は2k+1、2k+3、2k+5で全て2の倍数でない。
④②と③が一致しないので不可。

これが3

あ

すみません、続けます。
これが3k、3k+1、3k+2の場合はどの場合でも3の倍数になっているので、成立するということです。

りん

理解できた気がします！！
素数判定の問題で一定値以上から3k、3k+1、3k+2で場合分けしてる時は、その一定値以上からはほぼ素数じゃないことは確定してる出来レースって認識で大丈夫でしょうか？？
日本語が分かりにくくてすみません、、

あ

そうです。入試問題になるような問題の場合、基本的には答えは20以下の数字の中にしかないことが多く、入試のポイントとしてはなぜそれ以外の答えは存在しないのかという点を問われていることが多いです。

りん

分かりました！私の質問に付き合ってくださってありがとうございました！！