Question

溫哨群

求解

下列有關三次函數y=f(x)=4x°+(k-3)x-(k+1)(常數k>0)的敘述,何者正確?
(1)若y=f(x)在x=0附近的一次近似圖形為直線L,則直線L的斜率為k-3
(2)承(1),直線L必過點(1,-4)
(3)f(x) 可被x-1整除
(4)y=f(x)的圖形與x軸可能會有3個交點
(5)不等式f(x)>0的解為x<1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

阿貓

函數無x^2項，故x=0為對稱中心的x座標值。在x=0的近似直線為y=(k-3)x-(k+1)
(1). 直線斜率為k-3
(2). 必過點(1,-4)
(3). f(1)=0, 故被x-1整除
(4). 可能有3個交點
(5). 首項係數為正，x>1時f(x)>0

可知

幫補充（4），
（4）是不對的選項。
因為(x–1)可整除f(x)，利用長除法可知
f(x)=(x–1)(4x²+4x+(k+1))

解f(x)=0的方程式，可得
x=1, x=–1/2 ± √(–k)/2
但是題目給定常數k>0
這表示後兩者的x必為一對共軛虛根。

因此，y=f(x)的圖形必定與x軸僅1個交點，
即交於點(1,0)，不可能有3個交點。

（5）選項：承（4）
考慮不等式 f(x)=(x–1)(4x²+4x+(k+1))>0
因為已知二次式 4x²+4x+(k+1) 恆正，
由判別式知 16–16(k+1)=–16k<0

故可去該二次式。原不等式的解相等於
x–1>0
即x>1。

阿貓

抱歉，沒注意到k>0
謝謝指正

可知

沒關係👍剛好有看到這題，順便討論一下~

阿貓

看來我還要多細心一點，希望你有空也幫忙指正一下。謝謝你